自相关函数(统计学中的术语)
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更新时间:2022-11-14
自相关函数
统计学中的术语
自相关函数(Autocorrelation Function)在不同的领域,定义不完全等效。在某些领域,自相关函数等同于自协方差(autocovariance)。 自相关(英语:Autocorrelation),也叫序列相关,是一个信号于其自身在不同时间点的互相关。非正式地来说,它就是两次观察之间的相似度对它们之间的时间差的函数。它是找出重复模式(如被噪声掩盖的周期信号),或识别隐含在信号谐波频率中消失的基频的数学工具。它常用于信号处理中,用来分析函数或一系列值,如时域信号。
中文名
自相关函数
外文名
Autocorrelation Function
应用学科
数学
相关
统计学
属性
函数
等同于
自协方差
定义
统计学
信号处理其中“*”是卷积算符,为取共轭。同一时间函数在瞬时t和
的两个值相乘积的平均值作为延迟时间t的函数,它是信号与延迟后信号之间相似性的度量。延迟时间为零时,则成为信号的均方值,此时它的值最大。性质
以下以一维自相关函数为例说明其性质,多维的情况可方便地从一维情况推广得到。
对称性:从定义显然可以看出
。连续型自相关函数为偶函数当f为实函数时,有:
当f是复函数时,该自相关函数是厄米函数,满足:
,其中星号表示共轭。连续型实自相关函数的峰值在原点取得,即对于任何延时 τ,均有
。该结论可直接有柯西-施瓦兹不等式得到。离散型自相关函数亦有此结论。周期函数的自相关函数是具有与原函数相同周期的函数。
两个相互无关的函数(即对于所有 τ,两函数的互相关均为0)之和的自相关函数等于各自自相关函数之和。
由于自相关函数是一种特殊的互相关函数,所以它具有后者的所有性质。
连续时间白噪声信号的自相关函数是一个δ函数,在除
之外的所有点均为0。维纳-辛钦定理(Wiener–Khinchin theorem)表明,自相关函数和功率谱密度函数是一对傅里叶变换对:
实值、对称的自相关函数具有实对称的变换函数,因此此时维纳-辛钦定理中的复指数项可以写成如下的余弦形式:举例白噪声的自相关函数为δ函数:
具有罗伦兹功率谱的色噪声的自相关函数为:
应用信号处理中,自相关可以提供关于重复事件的信息,例如音乐节拍(例如,确定节奏)或脉冲星的频率(虽然它不能告诉我们节拍的位置)。另外,它也可以用来估计乐音的音高。