绝对值不等式(一种数学公式)
VLoG
103次浏览
更新时间:2022-11-16
绝对值不等式
一种数学公式
在不等式应用中,经常涉及质量、面积、体积等,也涉及某些数学对象(如实数、向量)的大小或绝对值。它们都是通过非负数来度量的。 公式:||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|
中文名
绝对值不等式
外文名
Absolute value inequality
方法
分析法,换元法,综合法等
应用学科
数学
表达式
|a|-|b| ≤|a土b|≤|a|+|b|
性质
表示数轴上的点与原点的距离叫做数a的绝对值。两个重要性质:
1、
(b≠0)2、
可逆推出,当且仅当 时左边等号成立,时右边等号成立。另外有:
几何意义
1、当a,b同号时它们位于原点的同一边,此时a与﹣b的距离等于它们到原点的距离之和。
2、当a,b异号时它们分别位于原点的两边,此时a与﹣b的距离小于它们到原点的距离之和。(
表示与原点的距离,也表示a与b之间的距离)公式
绝对值
重要不等式推导过程:
我们知道
;因此,有:
......① ......②......③由①+②得:
即
......④由①+③得:
即
......⑤另:
由④知:
.......⑥.......⑦.......⑧.......⑨由⑥,⑦得:
......⑩由⑧,⑨得:
......⑪综合④⑤⑩⑪得到有关 绝对值(absolute value)的重要不等式:
要注意等号成立的条件(特别是求最值),即:
注:
同理可得
另“→”指可双向推出
解法
解决与绝对值有关的问题(如解绝对值不等式,解绝对值方程,研究含有绝对值符号的函数等等),其关键往往在于去掉绝对值符号。而去掉绝对值符号的基本方法有二。
以下,具体说说绝对值不等式的解法:
其一为平方,所谓平方,比如,
,可化为,绝对值符号没有了!其二为讨论,所谓讨论,即
时,|;时,,绝对值符号也没有了!说到讨论,就是令绝对值中的式子等于0,分出x的段,然后根据每段讨论得出的x值,取交集,综上所述即可。
其三为数形结合法,即在数轴上将各点画出,将数转换为长度的概念求解。