开平方(平方的逆运算)
定义求一个数a的平方根的运算,叫做开平方(extraction of square root),开平方是平方的逆运算。
开平方
Square opening
求实数x的平方根
定义
求一个数a的平方根的运算,叫做开平方(extraction of square root),其中a叫做被开方数。在实数范围内a必须大于或等于零,即a为非负数;在复数范围内,定义i的平方是
,即-1的平方根是,记作。理论依据
开平方是平方的逆运算,只要我们知道平方的计算方法,开平方就迎刃而解了。
我们令10位数值为A,个位数值为B,即为
,根据二数和的平方有:。举例说明:例
计算方法1、
,2、
,3、
,4、将这些数,按两位分节合起来:
。得。将这些计算步骤倒过来,就是开平方。同理,可以得开立方及N次方的方法。
开方历史
我国古代数学的成就灿烂辉煌,早在公元前一世纪问世的我国经典数学著作《九章算术》里,就出现了基于算筹的开平方法.后来又有北宋数学家贾宪进一步对开方术完善,形成了成熟的程序化开方方法:增乘开平方法
据史料记载,国外直到公元五世纪才有对于开平方法的介绍。
一种开方的计算步骤
1.将被开方数的整数部分从个位起向左每隔两位划为一段,用撇号分开,分成几段,表示所求平方根是几位数;
开平方
2.根据左边第一段里的数,求得平方根的最高位上的数(竖式中的3);3.从第一段的数减去最高位上数的平方,在它们的差的右边写上第二段数组成第一个余数(竖式中的256);
4.把求得的最高位数乘以20去试除第一个余数,所得的最大整数作为试商(
除256,所得的最大整数是 4,即试商是4);5.用所求的平方根的最高位数的20倍加上这个试商再乘以试商.如果所得的积小于或等于余数,试商就是平方根的第二位数;如果所得的积大于余数,就把试商减小再试(竖式中
,说明试商4就是平方根的第二位数);6.用同样的方法,继续求平方根的其他各位上的数.
如遇开不尽的情况,可根据所要求的精确度求出它的近似值.
例如求 的近似值(精确到0.01),可列出上面右边的竖式,并根据这个竖式得到。
笔算开平方运算较繁,在实际中直接应用较少,但用这个方法可求出一个数的平方根的具有任意精确度的近似值.
实例1
开方公式开平方
例如,:5介于2的平方至3的平方;之间。我们取初始值2.1,2.2,2.3,2.4,2.5,2.6,2.7,2.8,2.9都可以,我们最好取 中间值2.5。
第一步:
;输入值大于输出值,负反馈;即
,取2位数2.2。第二步:
;输入值小于输出值,正反馈;即
,,,。取3位数2.23。第三步:
。即
,,,,取4位数。每一步多取一位数。这个方法又叫反馈开方,即使你输入一个错误的数值,也没有关系,输出值会自动调节,接近准确值。
例如
.200介如10的平方至20的平方之间。初始值可以取11,12,13,14,15,16,17,18,19。我们去15.
。取19也一样得出14:。。.实例2
精确开方公式对于一个要开平方的数C,先试估一个尽可能接近方根的数a,使得
,且,则例如,:因为
所以
,一次性得到了7位有效数字的精确度。