函数最值(函数最大值与函数最小值的合称)
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更新时间:2022-12-07
函数最值
函数最大值与函数最小值的合称
函数最大值分为函数最小值与函数最大值。简单来说,最小值即定义域中函数值的最小值,最大值即定义域中函数值的最大值。函数最大(小)值的几何意义——函数图像的最高(低)点的纵坐标即为该函数的最大(小)值。
中文名
函数最值
定义
函数最值分为函数最小值与函数最大值
类型
代数计算
分类
最小值最大值
特点
抽象
相关学科
数学
范围
通用
运用领域
数学
简介
一般的,函数最值分为函数最小值与函数最大值。
最小值设函数
的定义域为I,如果存在实数M满足:①对于任意实数,都有,②存在。使得,那么,我们称实数M 是函数的最小值。最大值设函数
的定义域为I,如果存在实数M满足:①对于任意实数x∈I,都有,②存在。使得,那么,我们称实数M 是函数的最大值。一次函数
一次函数(linear function),也作线性函数,在x,y坐标轴中可以用一条直线表示,当一次函数中的一个变量的值确定时,可以用一元一次方程确定另一个变量的值。所以,无论是正比例函数,即:
。还是普通的一次函数,即: (k为任意不为0的常数,b为任意实数),只要x有范围,即或(要有意义),那么该一次函数就有最大或者最小或者最大最小都有的值。而且与a的取值范围有关系。当时,则y随x的增大而减小,即y与x成反比。则当x取值为最大时,y最小,当x最小时,y最大。例:则当时,y最小,时,y最大。当时,则y随x的增大而增大,即y与x成正比。则当x取值为最大时,y最大,当x最小时,y最小。例:则当时,y最大,时,y最小。二次函数
一般地,我们把形如
(其中a,b,c是常数,)的函数叫做二次函数(quadratic function),其中a称为二次项系数,b为一次项系数,c为常数项。x为自变量,y为因变量。等号右边自变量的最高次数是2。注意
:“变量”不同于“未知数”,不能说“二次函数是指未知数的最高次数为二次的多项式函数”。“未知数”只是一个数(具体值未知,但是只取一个值),“变量”可在一定范围内任意取值。在方程中适用“未知数”的概念(函数方程、微分方程中是未知函数,但不论是未知数还是未知函数,一般都表示一个数或函数——也会遇到特殊情况),但是函数中的字母表示的是变量,意义已经有所不同。从函数的定义也可看出二者的差别。如同函数不等于函数关系。而二次函数的最值,也和一次函数一样,与a扯上了关系。当a<0时
函数最值
观察右图。当时,则图像开口于,一样,则此时y 有最大值,且y只有最大值(联系图像和二次函数即可得出结论),此时y值等于顶点坐标的y值。当时观察右图。当时,则图像开口于,一样,则此时y 有最小值,且y只有最小值(联系图像和二次函数即可得出结论)此时y值等于顶点坐标的y值。反比例
一般地,如果两个变量x、y之间的关系可以表示成
(k为常数,)的形式,那么称y是x的反比例函数。因为是一个分式,所以自变量X的取值范围是。而有时也被写成或。这反比例函数的最值,实际上,和二次函数、一次函数与a的关系一样,与k的取值范围有关系,然而,它并不像二次函数那样,最值是确定的,而是像一次函数那样,只有当x有取值范围后,最值才能有。
当
时,且时,y随着x的增大而增大
。而当时,且时,y随着x的增大而增大
。这个是很容易弄混的,应当在草稿本上例题验算一下。当
时,且时,y随着x的增大而减小
。而当时,且时,y随着x的增大而减小
。这个同样是很容易弄混的,应当在草稿本上例题验算一下,然后与上面的进行对比