超球面（普通球面在任意维度的推广）
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更新时间：2023-05-17
超球面
普通球面在任意维度的推广
超球面，也称n维球面，是普通的球面在任意维度的推广。它是(n + 1)维空间内的n维流形。特别地，0维球面就是直线上的两个点，1维球面是平面上的圆，2维球面是三维空间内的普通球面。高于2维的球面有时称为超球面。
基本信息
| 中文名 | 超球面 |
| 别称 | n维球面 |
| 领域 | 数理科学 |
| 外文名 | Hypersphere |
| 别名 | n维球面 |
| 定义 | 高于2维的球面 |
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超球面介绍
1.定义
高于2维的球面称为 超球面。中心位于原点且半径为单位长度的
维球面称为单位 n维球面，记为
。用符号来表示，就是：
1) 0维球面是直线上的两个点
；
2) 1维球面是平面上的圆；
3) 2维球面是三维空间内的普通球面；
其中
是中心点，
是半径。
以上的维球面在
维空间中存在，是维流形的一个例子。半径为的维球面的体积形式
由下式给出：
其中*是霍奇星算子。因此，
。
3.超球体
由维球面所包围的体积，称为维球体。如果把球体的表面包括在内，则维球体是封闭的，否则是开放的。
特别地：
1) 1维球体，是一个线段，是0维球面的内部。
2) 2维球体，是一个圆盘，是圆（1维球面）的内部。
3) 3维球体，是一个普通的球体，是球面（2维球面）的内部。
4) 4维球体，是3维球面的内部。
超球体体积
由此可以推出，对于给定的，常数
的值为：
1) 
（对于偶数
），
2) 
（对于奇数
）。
这个
维球面的表面积是：
n维球面的表面积和体积之间有以下的关系：
从此可以推导出递推关系：
这些公式也可以直接从 n维球坐标系中的积分推出。
例子
对于较小的，半径为
维球体的的体积
为如下：
但当趋于无穷大时，
趋于0。
如果维度不限于整数，那么维球面的体积就是的连续函数，它的极大值位于
，体积为
。当
或
时，体积为1。
