随机矩阵（描述马尔可夫链转变的矩阵）
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更新时间：2023-05-22
随机矩阵
描述马尔可夫链转变的矩阵
在数学中，随机矩阵（也称为概率矩阵、转移矩阵、替代矩阵、或马尔可夫矩阵）是用来描述一个马尔可夫链的转变的矩阵。它的每一项都是一个表示概率的非负实数。它适用于概率论、统计学和线性代数，也在计算机科学和群体遗传学中使用。
基本信息
| 中文名 | 随机矩阵 |
| 外文名 | Stochastic Matrix |
| 别名 | 概率矩阵 转移矩阵 替代矩阵 马尔可夫矩阵 |
| 应用学科 | 概率论、统计学和线性代数 |
| 作用 | 用来描述马尔可夫链的转变的矩阵 |
| 所属领域 | 计算机科学和群体遗传学 |
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定义
随机矩阵描述了在一个有限状态空间S上的马尔可夫链。
随机矩阵
由于从状态 i 到下一状态的概率总和必须是 1，这个矩阵是一个右随机矩阵，于是
从i 到 j分两步转变的概率由然后由给定的P的平方矩阵的(i,j)号元素给出：
随机矩阵
一般地，在由矩阵P给出的有限马尔可夫链上从任何状态转移到另一个状态的 步转移概率为P。初始分布为一个行向量。平稳概率向量 定义为不随转移矩阵的运用而变化的一个向量；也就是说，它定义为概率矩阵的左特征向量，其特征值为1：
佩龙一弗罗宾尼斯定理保证了每个随机矩阵都具有这样的向量，而特征值的最大绝对值始终为1。在一般情况下，可能有多个这样的向量。然而，对于具有严格正项的矩阵，该向量是唯一的，并可以观察到对任意i我们都有以下极限而求出，
其中 是行向量 的第j 个元素。在其他方面，这表示处在状态 j下的长期概率与初始状态 i是独立的。这两种计算得到相同的稳定向量是遍历定理的一种形式，在各种各样的耗散动力系统广泛成立：该系统随着时间演变到定态。
设A、B为二个n×n阶转移矩阵，则以下亦为转移矩阵:AB、A、1/2(A+B)。
随机矩阵
分类
应用
转移矩阵可用以表示机率(或变化比率)，而矩阵相乘的结果可用以预测未来事件发生的机率。
范例
假设你有一个计时器和五个相邻的格子排成一行，零时刻有一只猫在第一个格子中，而一只老鼠在第五个格子中。在计时器增加的时候猫和老鼠都会随机跳到一个相邻的格子中。例如，如果猫在第二个格子，老鼠在第四个，在计时器增加后，猫会出现在第一个格子 且老鼠会出现在第五个格子的概率为1/4。如果猫在第一个格子而老鼠在第五个，那么计时器增加后，猫会出现在第二个格子且老鼠会出现在第四个的概率为1。当它们处于同一个格子的时候，猫会吃掉老鼠，游戏结束。随机变量K给出了老鼠仍留在游戏中的时间步长。
表示这个包含五种位置组合 (猫，鼠) 的状态的游戏的马尔可夫链为：
•状态 1：(1,3)
•状态 2：(1,5)
•状态 3：(2,4)
•状态 4：(3,5)
•状态 5：游戏结束：(2,2), (3,3) & (4,4).
我们使用一个随机矩阵来表示这个系统的转移概率（这个矩阵中的行和列用上面提到的可能状态来索引），
长期平均
无论初始状态是什么，猫最终都会抓到老鼠（概率为1），且极限为稳态 π= (0,0,0,0,1)。要计算随机变量 Y 的长期平均或期望值。对每种状态 S和时间 t，都有 Y·P(S=S,t=t) 的贡献。生存与否可以视作一个二值变量，Y=1 代表生存状态而 Y=0 代表终止状态。Y=0 的状态不对长期平均有贡献。
