算术基本定理（欧几里得提出的数学定理）

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更新时间：2023-05-22
算术基本定理
欧几里得提出的数学定理
算术基本定理，又称为正整数的唯一分解定理，即:每个大于1的自然数均可写为质数的积，而且这些素因子按大小排列之后，写法仅有一种方式。
基本信息
中文名
算术基本定理
外文名
Fundamental Theorem of Arithmetic
别名
正整数的唯一分解定理
提出者
应用学科
数学
适用领域
交换代数和代数数论等
收起
定理内容
　　任何一个大于1的自然数N，都可以唯一分解成有限个质数的乘积 N=(P_1^a1)*(P_2^a2)......(P_n^an) , 这里P_1 <... 质数，其诸方幂 ai 是正整数。
　　这样的分解称为N 的标准分解式。
定理证明
　　算术基本定理的最早证明是由欧几里得给出的。
大于1的自然数必可写成素数之积
　　用反证法：假设存在大于1的自然数不能写成质数的乘积，把最小的那个称为n。
　　自然数可以根据其 可除性（是否能表示成两个不是自身的自然数的乘积）分成3类：质数、合数和1。首先，按照定义， n 大于1。其次， n 不是质数，因为质数p可以写成质数乘积：p=p，这与假设不相符合。因此n只能是合数，但每个合数都可以分解成两个严格小于自身而大于1的自然数的积。设其中 a 和 b 都是介于1和 n 之间的自然数，因此，按照 n 的定义， a 和 b 都都可以写成质数的乘积。从而
　　也可以写成质数的乘积。由此产生矛盾。因此大于1的自然数必可写成质数的乘积。
唯一性
　　引理：若质数 p | ab，则 p | a∨p | b正确（两者至少有一为真命题）。
　　引理的证明：若 p | a 则证明完毕。若，那么两者的最大公约数为1。根据裴蜀定理，存在( m, n) 使得 ma + np = 1。于是 b = b( ma + np) = abm + bnp。由于 p | ab，上式右边两项都可以被 p整除。所以 p | b。
　　再用反证法：假设有些大于1的自然数可以以多于一种的方式写成多个质数的乘积，那么假设 n 是最小的一个。
　　首先 n 不是质数。将 n 用两种方法写出：
根据引理，质数
　　所以中有一个能被 p1整除，不妨设为 q1。但 q1也是质数，因此 q1 = p1 。所以，比n小的正整数也可以写成这与 n 的最小性矛盾！
　　因此唯一性得证。
定理应用
　　（1）一个大于1的正整数N，如果它的标准分解式为： N=(P_1^a1)*(P_2^a2)......(P_n^an)
　　那么它的正 因数个数为（1+a1)(1+a2).....(1+an)。
　　（2）它的全体正因数之和为d(N)=(1+p_1+...p_1^an)(1+p_2+...p_2^a2)...(1+p_n+...+p_n^an)
　　当d(N)=2N时就称N为 完全数。是否存在奇完全数，是一个至今未解决之猜想。
　　（3）利用算术基本定理可以重新定义整数a和b的 最大公因子（a,b）和 最小公倍数[a,b], 并证明ab=(a,b)[a,b].
　　（4）此外还可证明根号2是 无理数等等（毕达哥拉斯）。
　　（5）证明素数个数无限。
定理推广
　　此定理可推广至更一般的交换代数和代数数论。高斯证明复整数环Z[i]也有唯一分解定理。它也诱导了诸如唯一分解 整环，欧几里得整环等等概念。更一般的还有 戴德金 理想分解定理。