格点问题（研究区域中格点个数的问题）
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更新时间：2023-05-22
格点问题
研究区域中格点个数的问题
格点，又称整点，指坐标都是整数的点，格点问题就是研究一些特殊区域甚至一般区域中的格点的个数的问题。
基本信息
| 中文名 | 格点问题 |
| 外文名 | problem on lattice point |
| 别名 | 整点问题 |
| 性质 | 研究特殊区域 |
起源
其他相关信息
或称整点问题，研究一些特殊区域甚至一般区域中的格点的个数。格点又称整点，是指坐标均为整数的点。格点问题是数论中的一类重要问题，起源于以下两个著名问题的研究：①狄利克雷除数问题。设
表区域
上的格点个数。1849年，P.G.L.狄利克雷证明了
，这里
,у是欧拉常数。这一问题的目的是要求出使余项估计
成立的λ的下确界θ。因为
,其中
是除数函数，所以把这一格点问题称为狄利克雷除数问题。 ②圆内格点问题。设
表圆
上的格点数。C.F.高斯证明了 
,这里
。
求使余项估计算
成立的λ的下确界α的问题, 称为圆内格点问题或高斯圆问题。显有
,这里
是
的全体整数解的个数。利用初等方法,1903年,Γ.Ф.沃罗诺伊证明了
；1906年,W.谢尔平斯基证明了
；利用较深的分析方法，1922～1937年，J.G.范·德·科普特首先证明了
；1934～1935年，E.C.蒂奇马什证明了
；1942年，华罗庚证明了
；1963年，陈景润、尹文霖证明了
；1950年迟宗陶和1953年H.-E.里歇先后证明了
，他们所用的方法都是闵嗣鹤提出的;1963年，尹文霖证明了
；1985年, Γ.Α. 科列斯尼克证明了
，1985年,W.G.诺瓦克证明了
。另一方面,1916年G.H.哈代已证明
；1940年，A.E.英厄姆已证明
。一些数学家还对余项
的均值做了估计。猜测
,但是至今未能证明。这两个问题的直接推广是k维除数问题、球内格点问题以及k 维椭球内的格点问题等。对一般格点问题也有不少研究。关于这些问题中国数学家做了不少工作。直到2007年Sylvain E. Cappell and Julius L. Shaneson在著名的预印本网站arxiv发表论 文《some problems in number theory 1：the circle problem》，声称他们已解决这个问题。
关于一般平面区域的格点问题，M.V.贾尔尼科推广高斯的方法后于1924年证明了：设Г是可求长的约当闭曲线，其长为l，其所围面积为 A；N是Г内及其上的格点数，则有
。
整点问题举例
·平面上任何4n-3个整点中必可取出n个整点使其重心仍为整点?
·1983年Kemnitz猜想，用初等方法是无法解决这一困难猜想的。
·2000年有人使用代数方法成功地证明
换成
时猜想正确。
·2003年德国Reiher(bornApril 19, 1984)出人意料地将代数方法与组合方法巧妙地结合起来，攻下有20年之久的Kemnitz猜想
