收敛级数（部分和序列极限存在的级数）

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更新时间：2023-05-22
收敛级数
部分和序列极限存在的级数
收敛级数（convergent series）是柯西于1821年引进的，它是指部分和序列的极限存在的级数。收敛级数的基本性质主要有：级数的每一项同乘一个不为零的常数后，它的收敛性不变；两个收敛级数逐项相加或逐项相减之后仍为收敛级数；在级数前面加上有限项，不会改变级数的收敛性；原级数收敛，对此级数的项任意加括号后所得的级数依然收敛；级数收敛的必要条件为级数通项的极限为0。
基本信息
外文名
Convergent series
提出时间
1821年
必要条件
通项的极限为0
分类
收敛级数和绝对收敛级数
预备知识
数项级数的定义
给定一个数列
，对它的各项依次用“+”号连接起来的表达式“
”称为数项级数，或称为无穷级数，也可以简称为级数，其中
称为数项级数的通项。
上述数项级数常写作：
，或者简单记作
。
数项级数的前n项和
数项级数的前 n项和记作
，且有
。
部分和数列
称数列
，即数列
为数项级数
的部分和数列。
定义
若数项级数
的部分和数列
收敛于S（即
），则称数项级数 收敛，即
为收敛级数，且称S为数项级数
的和，记作
。
收敛级数分条件收敛级数和绝对收敛级数两大类，其性质与有限和（有限项相加）相比有本质的差别，例如交换律和结合律对它不一定成立，收敛级数概念是柯西于1821年引进的。
基本性质
性质1
设 k 为常数，如果级数
收敛于S，则级数
也收敛，且收敛于
。
证明：设级数
和
的部分和分别为
，
则有
，
于是
，这就表明级数
也收敛，且收敛于
。
注：由关系式
可知，如果数列
没有极限且
，那么
也没有极限。由此我们得到结论：级数的每一项同乘一个不为零的常数后，它的收敛性不变。
性质2
如果级数
、
分别收敛于
，则级数
也收敛，且收敛到
。
证明：设级数
与
的部分和分别为
，
则级数
的部分和为
，
于是
，这就表明了级数
收敛，且收敛于
。
注意：性质2说明，两个收敛级数逐项相加或逐项相减之后仍为收敛级数。
性质3
在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的收敛性。
证明：我们只需证明“在级数的前面部分去掉、加上有限项，不会改变级数的收敛性”，因为其他情形（即在级数中去掉、加上或改变有限项的情形）都可以看成在级数的前面部分先去掉有限项，然后再加上有限项的结果。
以去掉k项为例，设级数为
，
去掉前 k 项，得到新的级数
，
记原级数前
项的和为
，前 k 项和为
，去掉前 k 项得到的新级数的前 n 项和为
，
则有
。
易得当
时，
与
同时有极限，或者同时没有极限，
即级数
与
同时收敛或同时发散。
类似的，可以证明在级数前面加上有限项，不会改变级数的收敛性。
性质4
若级数
收敛，则对此级数的项任意加括号后所得的级数
仍然收敛，且其和不变。
证明：设级数
的前 n 项部分和
，加括号后所成的级数的前 k 项的和为
，则有：
，
，
...
，
可见，数列
是数列
的一个子数列。由数列
的收敛性以及收敛子列与其子列的关系可知：数列
必定收敛，且有
。这说明了加括号后所成的级数收敛，且其和不变。
注意：如果加括号后所成的级数发散，则原级数也发散。
性质5
如果级数收敛，则必有
。
级数收敛性
等比级数（几何级数）
等比级数：
（1）当
时，
收敛，且收敛于
；
（2）当时
，
发散。
p级数：
（1）当
时，
收敛；
（2）当
时，
发散。