罗尔中值定理（微分学中一条重要的定理）

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更新时间：2023-05-22
罗尔中值定理
微分学中一条重要的定理
三大微分中值定理之一
罗尔（Rolle）中值定理是微分学中一条重要的定理，是三大微分中值定理之一，其他两个分别为：拉格朗日（Lagrange）中值定理、柯西（Cauchy）中值定理。
罗尔定理描述如下：
如果 R 上的函数 f(x) 满足以下条件：（1）在闭区间 [a,b] 上连续，（2）在开区间 (a,b) 内可导，（3）f(a)=f(b)，则至少存在一个 ξ∈(a,b)，使得 f'(ξ)=0。
基本信息
中文名
罗尔中值定理
外文名
Rolle's theorem
别名
罗尔定理
提出者
米歇尔.罗尔（Michel Rolle，法，1652—1719）
提出时间
1691年
应用学科
高等数学
、微分学
适用领域
数学
收起
证明过程
证明：因为函数 f(x) 在闭区间[a,b] 上连续，所以存在最大值与最小值，分别用 M 和 m 表示，分两种情况讨论：
1. 若
，则函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上必为常函数，结论显然成立。
2. 若
，则因为
使得最大值 M 与最小值 m 至少有一个在 (a,b) 内某点ξ处取得，从而ξ是f(x)的极值点，又条件 f(x) 在开区间 (a,b) 内可导得，f(x) 在 ξ 处取得极值，由费马引理推知：
。
另证：若
，不妨设
，
，由可导条件知，
，
，又由极限存在定理知左右极限均为 0，得证。
几何意义
若连续曲线
在区间 [a,b] 上所对应的弧段 AB，除端点外处处具有不垂直于 x 轴的切线，且在弧的两个端点 A,B 处的纵坐标相等，则在弧 AB 上至少有一点 C，使曲线在C点处的切线平行于 x 轴。
几种特殊情况
（1）有界开区间上的有界函数
若函数
在区间
上连续且可导，并有
，则至少存在一个
，使得
。
（2）有界区间上的无界函数
若函数
在区间
上连续且可导，并有
（或
），则至少存在一个
，使得
。
（3）无界区间上的有界函数
若函数
在区间
上连续且可导，并有
，则至少存在一个
，使得
。
（4）无界区间上的无界函数
若函数
在区间
上连续且可导，并有
（或
），则至少存在一个
，使得
。
（5）半无界区间上的有界函数
若函数
在区间[
)上连续且可导，并有
，则至少存在一个
，使得
。
（6）半无界区间上的无界函数
若函数
在区间[
)上连续且可导，并有
（或
），则至少存在一个
，使得
。
证明
这里仅选择特殊情况（2）、（3）加以证明，其余证明的思路大致类似。
定理 若函数
在区间
上连续且可导，并有
。则至少存在一个
，使得
。
证明：至少可取到一点
，使
，否则
恒等于
，对于任意的实数
，都有
。
不妨设
，取
，显然
。根据极限定义，由
可得
，当
时，有
，
，
，
任取
，则有
，
。
利用
，类似地可知存在
，使
。
定理 若函数
在区间
上连续且可导，并有
。则至少存在一个
，使得
。
证明：任取
，因为
，所以至少存在一点
，使
。
类似地由
可知存在一点
，使
。
这就有了
且
，
于是，
在闭区间
上连续，则在闭区间
上必有
的最小值点
，由于闭区间
的两个端点都不可能是
的最小值点，由此可知
，根据费马定理可知
。
范例解析
用罗尔中值定理证明：方程
3
在 (0,1) 内有实根。
证明：设
则 F(x) 在 [0,1] 上连续，在 (0,1) 内可导，
，
所以由罗尔中值定理，至少存在一点
，使得
，
所以
，
所以ξ是方程
在 (0,1) 内的一个实根。
结论得证。