极大函数（极大函数）

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更新时间：2023-05-22
极大函数
极大函数，又称哈代-李特尔伍德极大函数。极大函数的研究对分析数学的发展起了很大作用，近年来又有许多推广，并应用到数学的其他分支中去。
基本信息
外文名
Hardy-Littlewoodmaximal function
应用学科
数学
正文
又称哈代-李特尔伍德极大函数，由已知函数经一定运算（取平均）后取极大值所定义的函数，是由英国数学家G.H.哈代、J.E.李特尔伍德于20世纪30年代研究傅里叶级数时引进的。极大函数算子
是指将函数
映为它的极大函数
的算子。设
是
中的局部可积函数，那么称下面的
为
的极大函数：
,
式中
是以
为心、
为半径的球，
是球的体积,
极大函数
表示对
取上确界。可证明，极大函数
是几乎处处取有限值的，只要
；而且,式中
是常数，仅与
，
有关。
从极大函数的定义可知
几乎处处成立。另一方面，只要
,那么仍有
。这说明，极大函数
虽比
本身要大，但又“不太大”。正是这个重要性质，使得极大函数
能有效地控制那些在lp上有界的算子，最后可以通过函数本身的大小达到估计算子的目的。
极大函数的研究对分析数学的发展起了很大作用，近年来又有许多推广，并应用到数学的其他分支中去。