求导(数学计算中的一个计算方法)
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更新时间:2022-11-08
求导
数学计算中的一个计算方法
求导是数学计算中的一个计算方法,它的定义就是,当自变量的增量趋于零时,因变量的增量与自变量的增量之商的极限。在一个函数存在导数时,称这个函数可导或者可微分。可导的函数一定连续。不连续的函数一定不可导。
中文名
求导
外文名
derivation
表达式
f'(x)
应用学科
物理学
对象
因变量的增量
特性2
不连续的函数一定不可导
特性1
可导的函数一定连续
简单介绍
求导是微积分的基础,同时也是微积分计算的一个重要的支柱。物理学、几何学、经济学等学科中的一些重要概念都可以用导数来表示。如导数可以表示运动物体的瞬时速度和加速度、可以表示曲线在一点的斜率、还可以表示经济学中的边际和弹性。
数学中的名词,即对函数进行求导,用
表示。常见的求导法则
基本求导公式给出自变量增量
;得出函数增量
;作商
;求极限
。求导四则运算法则与性质1.若函数
都可导,则2.加减乘都可以推广到n个函数的情况,例如乘法:3.数乘性作为乘法法则的特例若为
常数c,则,这说明常数可任意进出导数符号。4.线性性
求导运算也是满足线性性的,即可加性、数乘性,对于n个函数的情况:
反函数求导法则若函数
严格单调且可导,则其反函数 的导数存在且。复合函数求导法则若
在点x可导 在相应的点u也可导,则其复合函数 在点x可导且。特殊的求导法则
对数求导法则函数
被称为幂指函数,在经济活动中会大量涉及此类函数,注意到它很特别。既不是指数函数又不是幂函数,它的幂底和指数上都有自变量x,所以不能用初等函数的微分法处理了。这里介绍一个专门解决此类函数的方法,对数求导法。对于
两边取对数(当然取以为e底的自然对数计算更方便)。由对数的运算性质。再对两边求导参数表达函数的求导法则若参数表达
,为一个y关于x的函数,由函数规律的x,而这个x值的那个t要对应唯一的一个y值,才能y为x的函数。由此可见 必存在反函数,于是代入,这便是y通过中间变量t的关于x的函数的抽象表达,(实际中未必能写出t关于x的反函数式子,也没必要这样做)。利用反函数求导法则和复合函数求导法则,可得
这便是参数方程表达的y关于x的函数的求导公式。隐函数求导法则若
中存在隐函数,这里仅是说y为一个x的函数并非说y一定被反解出来为显式表达。即,尽管y未反解出来,只要y关于x的隐函数存在且可导,我们利用复合函数求导法则则仍可以求出其反函数。基本初等函数的导数公式
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注意事项
1.不是所有的函数都可以求导;
2.可导的函数一定连续,但连续的函数不一定可导(如
处不可导)。