渐近线(曲线的渐近线)
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更新时间:2022-11-08
渐近线
曲线的渐近线
渐近线是指:曲线上一点M沿曲线无限远离原点或无限接近间断点时,如果M到一条直线的距离无限趋近于零,那么这条直线称为这条曲线的渐近线。可分为铅直渐近线、水平渐近线和斜渐近线。
中文名
渐近线
外文名
asymptote
意义
用来描述曲面上法曲率为零的方向
含义
曲线上一点M沿曲线无限远离原点或无限接近间断点时,如果M到一条直线的距离无限趋近于零
原点
曲线无限远离原点时
零
直线的距离无限趋近于零
应用学科
数学
定义
当曲线上一点
沿曲线无限远离原点或无限接近间断点时,如果到一条直线的距离无限趋近于零,那么这条直线称为这条曲线的渐近线
。数学上的定义则是:若函数
的图形收敛,则渐近线为。特点
渐近线分为铅直渐近线、水平渐近线和斜渐近线。
需要注意的是:并不是所有曲线都有渐近线,渐近线反映了某些曲线在无限延伸时的变化情况。
分类
根据渐近线的位置,可将渐近线分为三类:水平渐近线、铅直渐近线、斜渐近线。
对于抛物线来说,如果当
时, ( 或),而且 一般为间断点,就把 叫做的铅直渐近线;如果当
时, ,就把 叫做的水平渐近线。例如,是曲线 的水平渐近线;如果当
时,,其中a和b为常数,那么 就是 的一条斜渐近线。求法
求渐近线,可以依据以下结论:
双曲线两渐近线夹角一半的余弦等于
且为两焦点的距离,为轨迹上的点到焦点的距离差。若极限
存在,且极限也存在,那么曲线具有渐近线。例:求
渐近线。解:(1)
为其垂直渐近线。(2)
,即;,即;所以
也是其渐近线。示例
例如,直线
是双曲线 的渐近线,因为双曲线上的点到直线的距离;当无限趋近于0时,也无限趋近于0。所以按照定义,直线是该双曲线的渐近线。同理,双曲线也是该直线的渐近线。结论
1.与
渐近线相同的双曲线的方程,有无数条(且焦点可能在轴或轴上);2.与
渐近线相同的双曲线可设为,进行求解;3.
的渐近线方程为4.
的渐近线方程为