黎曼流形

一黎曼度量的微分流形。设M是n维光滑流形，若在M上给定一个光滑的二阶协变张量场g，称

1.g是对称的， 即

2.g是正定的， 即

且等号仅在

简单地说，黎曼流形就是给定了一个光滑的对称、正定的二阶张量场的光滑流形。

里奇曲率

里奇曲率是截面曲率的一种平均。设

则称

其中

曲率张量

给出了从

其中

(0,4) 型曲率张量有下列性质：

1.

2.

3.

数量曲率的概念

交基

则S与单位正交基

若用里奇张量在局部坐标系

意义

在二维上，标量曲率是高斯曲率的两倍，并且完全表征了曲面的曲率。然而，在两个维度上，黎曼流形的曲率涉及多个功能独立的数量。

在广义相对论中，数量曲率是爱因斯坦 - 希尔伯特动作的拉格朗日密度。在量度变化下，拉格朗日的欧拉 - 拉格朗日方程组成真空爱因斯坦场方程，静态度量称为爱因斯坦度量。 n歧管的标量曲率被定义为Ricci张量的轨迹，并且其可以被定义为在某一点处的截面曲率的平均值的

第一眼感觉，尺度至少为3的标量曲率似乎是一个微小的不变量，对歧管的全局几何形状几乎没有影响，但实际上一些深层定理显示了数量曲率的力量。一个这样的结果是Schoen，Yau和Witten的正质量定理。相关结果几乎完全了解哪些歧管具有正数量曲率的黎曼度量。