基本资料

这些业绩使他在天文学上享有盛誉．有人说他还计算过太阴视差，确定过月亮的近地点和平均移动，并且曾编过850个恒星的目录．把圆分成360°的划分法介绍到希腊的也是希帕克[也许是希普西克(Hipsicles，大约公元前180年)]．据说，他曾提倡过用纬度的和经度来定地球上地点的位置．我们对于这些成果的知识来自第二手材料，因为几乎没有希帕克的任何原著被保存下来．

数学成就

然而，对我们来说，希帕克有比在天文学上更重要的成就，那就是他在三角学的发展中所起的作用．四世纪的评论家亚历山大里亚的泰奥恩曾把十二本讨论弦表(table ofchords)设计的论著归功于希帕克．托勒玫

弦长以每一等分为单位，以六十进位制表达．这样，以符号crd α表示圆心角α所对的弦长，例如

crd36°=37°4′55″．

意思是：36°圆心角的弦等于半径的37/60(或37个小部分)，加上一个小部分的4/60，再加上一个小部分的55/3600，从图48看出，弦表等价于正弦函数表，因为

这样，托勒玫的弦表实质上给出了从0°到90°每隔15’的角的正弦．这些被托勒玫天才地解释的计算弦长的方式，似乎希帕克就已知道．有证据表明：希帕克系统地使用过他的表，并且知道与现代解球面直角三角形所用的一些公式等价的公式．

著作资料

泰奥恩曾提到过：普鲁塔克的同辈、亚历山大里亚的梅内劳斯写的关于圆中的弦的六本论著．这部著作和梅内劳斯的许多其它著作者失传了．但幸运地，梅内劳斯的三卷《球面几何》(Sphaerica)以阿拉伯文保存下来了，这部著作在希腊三角学的发展中起重要作用．在第一卷中，第一次给出了球面三角形(spherical triangle)的定义．这卷书，对球面三角形证明了许多欧几里得在平面三角形中证明过的命题，例如，通常的全等定理、关于等腰三角形的定理等等．除此之外，还证明了：两个球面三角形，如果其对应角分别相等，则全等(在平面上不存在类似的命题)：以及这样一个事实：球面三角形的三内角之和大于二直角．

命题证明

对称的球面三角形被当作是全等的．第二卷中包括天文学中一些有趣的定理．第三卷展示当时的球面三角学，多半是从大学几何课中学生所熟知的强有力的命题——梅内劳斯定理(Menelaus’theorem)之球面的情况导出的；该定理为：

如果一直线分别交△ABC的三边BC，CA，AB于L，M，N，则在球面中的一个类似的命题是：一个大圆分别交一个球面三角形ABC的三边BC、 CA、 AB于点L，M，N，则相应的结论等价于

梅内劳斯假定平面情况是已知的，并用来证明球面的情况．大量的球面三角学命题可以用取特殊的三角形和特殊的横截线的方法从此定理导出．此定理在平面情况和球面情况的逆定理都成立．

天文成就

希腊的天文学的权威性著作是亚历山大里亚的的托勒玫(Claudius Ptolemy)在大约公元150年写的．这部很有影响的著作称为《数学汇编》(Syntaxis mathematica)是以希帕克的著作为基础的，且以其文笔简洁和隽永而著称．为了和其它篇幅较小的天文学著作区别开，后来的评论家把它称之为《大汇编》[the superlative magiste或“greatest”(最大的)]．再靠后些，阿拉伯译者以阿拉伯文冠词al添在词头，因此这部著作被称为Al-magest．这部论著共十三卷．第一卷除了一些初级的天文学资料之外，还包括了上面讲的弦表，并且扼要解释从一个含义丰富的几何命题，来推导弦表的方法，这个命题现在称为托勒玫定理(Ptolemy’s theorem)：

在圆内接四边形中，两对角线之积等于两对对边之积的和(参看问题研究6．9)．

研究成果

第二卷是研究与地球的球面性有关的现像．第三、四、五卷，用本轮解释天文学的地心学说．第四卷中有测量学的三点问题(three—point problem)：确定这样的点，使这一点与给定的三个点中每两点的连线所成之角分别为给定的角；并且，有解．这个问题已经有很长的历史，被称作斯内尔(Snell)问题(1617年)或波西诺特(Pothenot)问题(1692)．第六卷讲述日、月食的理论，其中有4．8节中提到过的π的四位值．第七卷和第八卷是1028个恒星的目录．其余几卷是研究行星的．《大汇编》一书，在哥白尼和刻卜勒之前一直是标准的天文学著作．

托勒玫写过关于地图射影(参看问题6．10)、光学和音乐的著作．他还试图从《原本》的其它公理和公设推出欧几里得的第五(平行)公设，使之把它从欧几里得的一系列原始假定中去掉，然而没有成功。