辅助角公式(高等三角函数公式)
辅助角公式是李善兰先生提出的一种三角函数公式,使用代数式表达为asinx+bcosx=√(a²+b²)sin[x+arctan(b/a)](a>0)。虽然该公式已经被写入中学课本,但其几何意义却鲜为人知。
辅助角公式
The auxiliary Angle formula
辅助角提斜化一公式
asinx+bcosx=√(a²+b²)sin(x+\arctan(b/a))
李善兰
19世纪
数学、物理学、天文学、高等数学等
高等三角函数公式
公式内容
该公式的主要作用是将多个三角函数的和化成单个函数,以此来求解有关最值问题。
推导过程
9922次播放02:44高一数学三角函数,2分钟学会辅助角公式,重中之重务必熟练掌握对于
型函数,我们可以如此变形为利用两角和差公式化简,设
使(注意到)其等价于则即或
几何理解方式
提出问题如何找出辅助角公式的几何意义呢?或者说,这个公式中的各个量之间有着怎样的联系呢?
对于这样一个复杂的公式,不确定的量太多了。
分析意义我们需要分析公式中每一个量的意义。
先看等式左边:两个分别增大(或减小)一定倍数的正弦与余弦函数的和。
再看等式右边:一个增大(或减小)一定倍数并且被改变了初相的正弦函数。
从代数意义上讲,辅助角公式是为了对几个同频率的正弦型函数
求和,转化为一个单独的正弦型函数而诞生的。频率相同意味着相同,所以对于辅助角公式而言,为了方便起见,我们只讨论时的特殊情况。在这种情况下,对于一个正弦型函数,我们只有(增大的倍数)与(初相)两个量需要讨论。我们可以把
看作大小,把看作角度。而角度和大小恰是极坐标系确定位置的两个要素。辅助角公式与极坐标系有什么关系吗?
简化验证简化问题,使
,得辅助角公式
又因为
,则而在极坐标系中平面向量的加和即为两者之间有异曲同工之妙。
由此可见,我们的猜想得到了一定的验证。
即
与都只是单位向量,而两者是单位向量的变化幅度,是两向量和的模,则是和向量与横轴的夹角。推广延伸之前的验证只是对简化后的结果进行的,即
。其实,这一结果具有普适性。譬如
你可以自己找几个例子,多试几次。注:这种几何意义同样适合推导诱导公式等部分三角函数恒等变换公式,但三角函数间乘法不等价于单位向量间点乘(即数量积)。
另外,该几何意义也与矩阵有部分联系。
即获得的向量和可以通过该矩阵计算
(以平面直角坐标系为基准,而非极坐标系)疑问
为什么在推导辅助角公式的时候要令辅助角的取值范围为
?其实是在分类讨论或的时候,已经把辅助角的终边限定在一、四象限内了,此时辅助角的范围是。而根据三角函数的周期性可知加上后函数值不变,况且在内辅助角可以利用反正切表示,使得公式更加简洁明了。提出者
李善兰,原名李心兰,字竟芳,号秋纫,别号壬叔。出生于1811年1月22日,逝世于1882年12月9日,浙江海宁人,是中国近代著名的数学、天文学、力学和植物学家,创立了二次平方根的幂级数展开式,研究各种三角函数,反三角函数和对数函数的幂级数展开式(现称“自然数幂求和公式”),这是李善兰也是19世纪中国数学界最重大的成就。
例题计算
例1
求
的最大值
解
:设
则由辅助角公式易得:整理,得:令则
故
又有易知:
例2
化简
解:
辅助角公式
其中,
,例3
,求
的最小值
解:令
(降幂公式)(辅助角公式)因为
所以
记忆
很多人在利用辅助角公式时,经常忘记反正切到底是b/a还是a/b,导致做题出错。其实有一个很方便的记忆技巧,就是不管用正弦还是余弦来表示
,分母的位置永远是你用来表示函数名称的系数。例如用正弦来表示
,则反正切就是(即正弦的系数a在分母)。如果用余弦来表示,那反正切就要变成(余弦的系数b在分母)。