定义
定义一
由李群的李代数到李群的一种解析映射。若G为李群,e为单位元素,T(G)为G中点e的切空间，任取
,则惟一存在左不变向量场X,使得
.任给左不变向量场X,构作算子
任意取定单位坐标邻域U,点
,记
当
为U中点。于是，在U中有一条单参数解析曲线
记
.它可开拓到
,使得
且
为G之一维连通李子群。反之，任意一维连通李子群惟一决定左不变向量场X,使得此李子群为exp(tX).于是，有映射
,称为指数映射，这里J为李群G的李代数。指数映射是建立李群和它的李代数间的关系的重要工具，在李群理论中占有重要的地位.且
为G之一维连通李子群。反之，任意一维连通李子群惟一决定左不变向量场X，使得此李子群为exp (tX ).于是，有映射
，称为指数映射，这里J为李群G的李代数。指数映射是建立李群和它的李代数间的关系的重要工具，在李群理论中占有重要的地位 .定义二
切平面到曲面的一种映射。设T是曲面S在P点的切平面，指数映射是从切平面T到曲面S上的一个对应关系，记成
,定义如下：设v是曲面S在P点的一个切向量，过P作S上切于v的测地线，在此测地线上取一点M使得从P到M的弧长正好等于v的长度|v|,则定义
.引理1 对于曲面M上的每点p0，存在包含p0的一个坐标邻域U及常数
，使得对于每点
和p点切空间T(M)中每个长度小于ε的切向量v，都有唯一的一条满足初始条件
的测地线:
设
，若存在测地线
满足初始条件
那么点
叫做在q点切向量v的指数映像，用
表示γ(1)，而映射
称为在q点的指数映射．于是，满足初始条件的唯一测地线可表达为
根据引理1 当||v|| 充分小时，
是确定的．一般地说，对于长度较长的向量v，指数映像
未必能确定．然而如果能确定，则总是唯一的．定义 若对于任何点
和任何向量
，指数映像
总是确定的，则曲面M称为测地完备的．显然，测地完备性等价于下述要求：对于每段测地线段
，总能够把
延拓成无限长的测地线：
因此，我们也可把后者作为测地完备性的定义 ．与李代数
研究李代数元素的另一种方法是把它看作群上的左不变向量场．迄今为止，我们只是讨论单位元处的向量，对于向量场，需要涉及所有群元素的切线．将一个群元素在左侧相乘。就定义了群流形的一个同构
，其中
，群在它的基础流形上的这个作用诱导出在该流形向量场上的作用．左不变向量场关于这个作用是固定不变的．将任何左不变向量场限制到单位元上的切向量。即一个李代数元素．而给出一个单位元上的切向量。就能产生一个左不变向量场．我们需要做的就是左平移原始向量到流形上的每个点．如果X是一个矩阵。描述单位元处的切向量。则在群的点g处的切向量定义为gX．因此，单位元的切向量和左不变向量场之间是一一对应的．这些左不变向量场的积分曲线在后面起重要的作用．向量场的积分曲线是在每一点都与该场相切的曲线．对于左不变向量场。这个曲线满足如下微分方程：
这个方程有解析解，通过单位元素的解是
矩阵X的指数可以展开成幂级数：
对于矩阵指数有如下关系：
当且仅当
．这表示只有当指数是可交换时，指数积运算时指数才可以相加．当然，元素
和
是可交换的，这表示形如
的群元素构成子群：
它们是群的一维或单参数子群．用这种方法。每个李代数元素都产生一个单参数子群．指数函数也可以被看作给出了从李代数到群的映射。这个映射通常既不是单射也不是满射，但是在单位元附近它是同胚映射．即在李代数上存在0的邻域同胚映射到群的单位元的邻域．在这个邻域存在一个逆映射。通常被称作对数，由众所周知的Mercator级数定义。即
当g远离单位元时，级数不收敛．矩阵指数的行列式是矩阵迹的指数：
矩阵的迹Tr()是它的对角线元素之和．如果矩阵X的特征值都不相同。那么这个关系能够通过对角化矩阵简单地证明．即使在一般情况下，这个关系也是正确的．由这个关系可以得到：矩阵指数的行列式为1当且仅当矩阵是迹为0的．这就是李代数so(n),su(n)和sl(n)由迹为0的矩阵构成的原因．对于某些李代数，我们能够更详细地确定它的指数映射．例如。考虑su(2),典型的李代数元素m用伴随表示可以描述成如下形式的矩阵：
通过简单的计算可以得到
．如果要求
。则得到
．由此将
看作是参数t²。将它们代入到指数定义得到
这也可以用原始的李代数元素
M
写作
可以由M的行列式得到t．上述关系是线性的。这意味着对数也能够简单地求出．如果U是su(2)的元素。则
这里,t可以根据等式
得到．如上所述，这个对数并不是在整个群上有定义，显然上面得到的公式在
弧度时无意义 ．
