介绍

将n次单位根

由于与费马最后定理的联系，分圆域在现代代数和数论的研究中扮演着重要的角色。正是因为库默尔对这些数域上（特别是当 p为素数时）的算术的深入研究，特别是在相应整环上唯一分解定理的失效，使得库默尔引入了理想数的概念，并证明了著名的库默尔同余。

性质

次数：

与正多边形的联系

高斯最早在研究尺规作正多边形问题时涉及到了分圆域的理论。这个几何问题实际上可以被转化为伽罗瓦理论下的叙述：对什么样的 n， n次分圆域可以通过若干次的二次扩张得到？高斯发现正十七边形是可以用尺规作出的。更一般地说，对于一个素数 p，正 p边形可以用尺规作出当且仅当 p为费马素数。

与费马最后定理的联系

研究费马最后定理时，一个很自然的思路是将

然而，对于一般的 n，这个结论是错误的。但是，库默尔找到了一个绕过这个困难的办法。他引进了“理想数”的概念，作为对素数概念的改良。他将代数整数的素数分解不唯一的概念量化为类数： h，并证明了如果 h不能被 p整除（这样的 p被称为正规素数），那么费马的猜想对于

二十世纪后，库默尔关于分圆域的类数的同余理论被日本数学家岩泽健吉推广为岩泽理论。

参见

• 克罗内克-韦伯定理

• 单位根