等比中项(数学术语之一)
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更新时间:2022-11-12
等比中项
数学术语之一
数列问题中的特殊性质,如果在等比数列a项和b项中,插入一个数G使a、G、b成等比数列,那么G叫做a、b的等比中项。如果G是a与b的等比中项,则有G/a=b/G。 在解决一些数学问题时,如果发现其中存在类似等比中项的特征,不妨巧设公比,利用q的桥梁作用解题,不仅思路新颖而且过程简捷,从而为问题的解决提供了一种新的方法。
中文名
等比中项
外文名
geometric mean
类型
数学术语
特点
同号的两个数才有等比中项
二级学科
数学
一级学科
数理科学
等比数列
一般地,如果一个数列的首项不为0,且从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列就叫做
等比数列,
这个常数叫做等比数列的公比
,公比通常用字母q表示(q不等于0
)。如数列2,4,8,16就为等比数列。等比数列在生活中也是常常运用的。如:银行有一种支付利息的方式——复利。即把前一期的利息和本金加在一起算作本金,在计算下一期的利息,也就是人们通常说的“利滚利”。
等比中项简介
在等比数列a项和b项中,插入一个数G使a、G、b成等比数列,那么G叫做a、b的等比中项
。
若a和b的等比中项为c,则c的平方等于a和b的乘积。
若a,b,c成等比数列,则有
相关结论
由
,可知 成立。还可由
,得 。此结论说明,在等比数列中,从第二项起,每一项(有限数列末项除外)都是它前后两项的等比中项。
同样可证得
成立。此结论说明,在等比数列中,任取数列中的某项都是与它前后等距离的两项的等比中项(保证前后两项都存在)。
性质
同号的两个数才有等比中项;等比中项有两个,且互为相反数。
在等比数列中,若
,m与p,,则 ,可以理解为,是与的等比中项。举例
在解决一些数学问题时,如果发现其中存在特征
,我们不妨联想到等比中项的知识,巧设公比,利用q的桥梁作用解题,不仅思路新颖而且过程简捷,从而为问题的解决提供了一种新的方法。(1)等比数列4,9求该数列等比中项
解:设给数列等比数列为C 则
(2)在三角函数的应用:
已知
,且a为第三象限角,求 。因为
,所以 。设
, 。所以,
又位于第三象限,所以
, 。(3)在解方程的应用
已知x,y,z属于正实数集,且
,求证:
由
知 , 所以 等比数列。设
,得
所以
。