相关结论
向量组
能由向量组线性表示的充要条件是矩阵的秩等于矩阵的秩。(若向量组A向量的个数,则向量组B由向量组A线性表示是唯一的;若向量组A向量的个数,则向量组B由向量组A线性表示不是唯一的;若,则向量组B不能由向量组A线性表示。)>注意,此处向量组R(B)指的是R(A,B)
2.向量组B能由向量组A线性表示,则向量组B的秩不大于向量A的秩。反之不一定成立。
3.① 一个向量可由向量组中其余向量线性表示,前提是这个向量组线性相关。
②但线性相关的向量组中并不是任一向量都可由其余向量线性表示。
③但当其余向量线性无关时,这个向量必可由其余向量线性表示。
4.零向量可由任一组向量线性表示。
5.向量组
,,,……,中每个向量都可由向量组本身线性表示。6.任一n唯向量
都可由n唯单位向量组线性表示。7.设
,,,……,线性无关,而,,……,,线性相关,则可由,,,……,线性表示,且表示是唯一的。证明:如果存在一组数
, , ···,, , 使,且,故,即可由,,,……,线性表示。唯一性:设存在两组数
, , ···,、 ,, ···,,使,,两式相减得,∵,,,……,线性无关,故,,,∴表示是唯一的。