严格递增（数学术语之一）

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更新时间：2023-05-20
严格递增
数学术语之一
递增(increasing)函数是指当函数的任何自变量增加的时候，函数值不减少。
基本信息
中文名
严格递增
拼音
yangedizeng
定义
当函数任何自变量增加的时候，函数值也增加
出处
数学
类型
数学术语
第2项
每一项都大于它的前一项的数列
收起
严格递增函数
定义1
递增(increasing)函数是指当函数的任何自变量增加的时候，函数值不减少。严格递增(strongly increasing)是指当函数任何自变量增加的时候，函数值也增加。类似地，递减函数(decreasing)是指当函数的任何自变量增加的时候函数值不增加，严格递减(strongly decreasing)是指当函数任何自变量增加的时候函数值却减少。
定义2
设
为偏序集，
，如果对任意的
，都有
，则称
为 单调递增的；如果对任意的
，都有
，则称
为严格单调递增的。
类似的，也可以定义单调递减和严格单调递减的函数。
举例分析
例1 单调递增函数的一些例子：
(1)
是严格单调递增的；
(2)偏序集
，其中
为包含关系，
为一般的小于或等于关系。
令
是单调递增的，但不是严格单调递增的。
严格递增数列
对于一个实数列
，如果从第2项起，每一项都不小于它的前一项，即有
，这样的实数列叫做 递增数列，也叫做上升数列；或说这一数列单调增加．
如果每一项都大于它的前一项，即
，则把这样的实数列叫做 严格递增数列；或说这一数列 严格递增或 严格单调增加．
对于一个实数列
，如果从第2项起，每一项都不大于它的前一项，即有
，这样的实数列叫做 递减数列，也叫做下降数列，或说这一数列单调减少。
如果每一项都小于它的前一项，即
，则把这样的实数列叫做 严格递减数列；或说这一数列 严格递减或 严格单调减少．
相关结论
一个严格递增的连续函数，它不处处可微。
下面的例子是由Pringsheim作出的，令
易见，
在
上连续，因为当
时，
所以
在
和
内都是严恪递增的，又当
时，
，而当
时，
，可见
在
内也是严格递增的，但由于
不存在，因而
在
处不可微。
注意:有人或许会猜测，严格单调函数的不可微的点都是一些间断点，上述反例说明了这种猜测是不正确的。