黎曼猜想（1859年德国黎曼提出的假设）
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更新时间：2023-05-22
黎曼猜想
1859年德国黎曼提出的假设
简介
黎曼在1859年在论文《在给定大小之下的素数个数》中做出这样的猜想：
函数位于
之间的全部零点都在
之上，即零点的实部都是
，这至今仍是未解决的问题。
学术论证
猜想来源
黎曼猜想是黎曼1859年提出的，这位数学家于1826年出生在一座如今属于德国，当时属于汉诺威王国的名叫布列斯伦茨的小镇。1859年，黎曼被选为了柏林科学院的通信院士。作为对这一崇高荣誉的回报，他向柏林科学院提交了一篇题为“论小于给定数值的素数个数”的论文。这篇只有短短八页的论文就是黎曼猜想的“诞生地”。
黎曼那篇论文所研究的是一个数学家们长期以来就很感兴趣的问题，即素数的分布。素数是像2、5、19、137那样除了1和自身以外不能被其他正整数整除的数。这些数在数论研究中有着极大的重要性，因为所有大于1的正整数都可以表示成它们的乘积。从某种意义上讲，它们在数论中的地位类似于物理世界中用以构筑万物的原子。素数的定义简单得可以在中学甚至小学课上进行讲授，但它们的分布却奥妙得异乎寻常，数学家们付出了极大的心力，却迄今仍未能彻底了解
黎曼论文的一个重大的成果，就是发现了素数分布的奥秘完全蕴藏在一个特殊的函数之中，尤其是使那个函数取值为零的一系列特殊的点对素数分布的细致规律有着决定性的影响。那个函数如今被称为黎曼ζ函数，那一系列特殊的点则被称为黎曼ζ函数的非平凡零点。
有意思的是，黎曼那篇文章的成果虽然重大，文字却极为简练，甚至简练得有些过分，因为它包括了很多“证明从略”的地方。而要命的是，“证明从略”原本是应该用来省略那些显而易见的证明的，黎曼的论文却并非如此，他那些“证明从略”的地方有些花费了后世数学家们几十年的努力才得以补全，有些甚至直到今天仍是空白。但黎曼的论文在为数不少的“证明从略”之外，却引人注目地包含了一个他明确承认了自己无法证明的命题，那个命题就是黎曼猜想。黎曼猜想自1859年“诞生”以来，已过了一百五十多个春秋，在这期间，它就像一座巍峨的山峰，吸引了无数数学家前去攀登，却谁也没能登顶。
当然，如果仅从时间上比较的话，黎曼猜想的这个纪录跟费尔马猜想时隔三个半世纪以上才被解决，以及哥德巴赫猜想历经两个半世纪以上屹立不倒相比，还差得很远。但黎曼猜想在数学上的重要性却要远远超过这两个大众知名度更高的猜想。有人统计过，在当今数学文献中已有超过一千条数学命题以黎曼猜想(或其推广形式)的成立为前提。如果黎曼猜想被证明，所有那些数学命题就全都可以荣升为定理；反之，如果黎曼猜想被否证，则那些数学命题中起码有一部分将成为陪葬。一个数学猜想与为数如此众多的数学命题有着密切关联，这是极为罕有的。
猜想内容
黎曼观察到，素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓黎曼zeta函数ζ()的性态。黎曼假设断言，方程
的所有有意义的解都在一条直线上。这点已经对于开始的1,500,000,000个解验证过。黎曼ζ函数ζ(s)是级数表达式黎曼猜想在复平面上的解析延拓。之所以要对这一表达式进行解析延拓，是因为这一表达式只适用于复平面上s的实部
的区域（否则级数不收敛）。黎曼找到了这一表达式的解析延拓（当然黎曼没有使用“解析延拓”这样的现代复变函数论术语）。运用路径积分，解析延拓后的黎曼ζ函数可以表示为：黎曼猜想这里我们采用的是历史文献中的记号，式中的积分实际是一个环绕正实轴进行的围道积分（即从
出发，沿实轴上方积分至原点附近，环绕原点积分至实轴下方，再沿实轴下方积分至
，而且离实轴的距离及环绕原点的半径均趋于0)，按照现代数学记号应记成：其中积分路径C跟上面所述相同，环绕正实轴，可以形象地这样表示：式中的Γ函数Γ(s)是阶乘函数在复平面上的推广，对于正整数
。可以证明，这一积分表达式除了在
处有一个简单极点外在整个复平面上解析。这就是黎曼ζ函数的完整定义。
运用上面的积分表达式可以证明，黎曼ζ函数满足以下代数关系式：从这个关系式中不难发现，黎曼ζ函数在
(n为正整数）取值为零-因为
为零。复平面上的这种使黎曼ζ函数取值为零的点被称为黎曼ζ函数的零点。因此
（n为正整数）是黎曼ζ函数的零点。这些零点分布有序、性质简单，被称为黎曼ζ函数的平凡零点(trivialzero)。除了这些平凡零点外，黎曼ζ函数还有许多其它零点，它们的性质远比那些平凡零点来得复杂，被称为非平凡零点(non-trivialzeros)。
黎曼猜想提出：黎曼ζ函数的所有非平凡零点都位于复平面上
的直线上。也即方程ζ(s)=0的解的实部都是。在黎曼猜想的研究中，数学家们把复平面上
的直线称为criticalline（临界线）。运用这一术语，黎曼猜想也可以表述为：黎曼ζ函数的所有非平凡零点都位于criticalline上。猜想验证进展荷兰三位数学家J．vandeLune，H．J．Rielete及D．T．Winter利用电子计算机来检验黎曼的假设，他们对最初的二亿个齐打函数的零点检验，证明黎曼的假设是对的，他们在1981年宣布他们的结果，目前他们还继续用电子计算机检验底下的一些零点。1982年11月苏联数学家马帝叶雪维奇在苏联杂志《Kibernetika》宣布，他利用电脑检验一个与黎曼猜想有关的数学问题，可以证明该问题是正确的，从而反过来可以支持黎曼的猜想很可能是正确的。
1975年美国麻省理工学院的莱文森在他患癌症去世前证明了
。
1980年中国数学家楼世拓、姚琦对莱文森的工作有一点改进，他们证明了
。
1932年C.L.Siegel发表的文章中，有下面这样一个公式：文章的作者根据这个公式的几何意义以及cos函数的零点性质，直接推导出来
，即证明了区域内的零点全部落在临界线上。C.L.Siegel从黎曼的遗稿中共整理出来四个公式，其中有三个公式在文献和教科书中经常出现，唯独上面这个公式，80多年来很少有文献提到它，就连C.L.Siegel本人对于这个公式的作用也大惑不解。实际上，只要跳出解析数论来看黎曼手稿，就能清楚地看到，黎曼用复分析的几何思想严格的证明了现代所说的“黎曼猜想”。这也许是数学史上最大的冤案。
人物简介
黎曼(Riemann，GeorgeFriedrichBernhard，1826-1866，德国数学家）是黎曼几何的创始人。他在读博士学位期间，研究的是复变函数。他把通常的函数概念推广到多值函数，并引进了多叶黎曼曲面的直观概念。他的博士论文受到了高斯的赞扬，也是他此后十年工作的基础，包括：复变函数在Abel积分和theta函数中的应用，函数的三角级数表示，微分几何基础等。
黎曼猜想是黎曼在1859年提出的。在证明素数定理的过程中，黎曼提出了一个论断：Zeta函数的零点都在直线
上。他在作了一番努力而未能证明后便放弃了，因为这对他证明素数定理影响不大。但这一问题至今仍然未能解决，甚至于比此假设简单的猜想也未能获证。而函数论和解析数论中的很多问题都依赖于黎曼假设。在代数数论中的广义黎曼假设更是影响深远。若能证明黎曼假设，则可带动许多问题的解决。
等价定理
1901年HelgevonKoch指出，黎曼猜想与强条件的素数定理等价。
黎曼猜想疑似解决
11月17日，尼日利亚教授奥派耶米·伊诺克(OpeyemiEnoch)宣称成功解决已存在156年的数学难题——黎曼猜想，然而克雷数学研究所既不证实也不否认伊诺克博士正式解决了这一问题。伊诺克博士在尼日利亚某大学任教。他表示，自己在2010年取得关键性突破，这为后来能够解决这一千年难题奠定了基础。他说，自己之所以决定解决这一著名的数学难题不是为了奖金，而是因为自己的学生。正是因为学生们相信自己，他才开始尝试解决这一数学难题。如果派耶米·伊诺克的证明被验证，他将获得100万美金，但克雷数学研究所官网目前并没有做出回应，类似的宣称证明黎曼猜想的事件历史曾多次发生。
相关介绍
具体内容
黎曼观察到，素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓黎曼zeta函数ζ(s)的性态。黎曼假设断言，方程ζ(s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。这点已经对于开始的1,500,000,000个解验证过。
黎曼ζ 函数 ζ(s) 是级数表达式
在复平面上的解析延拓。
之所以要对这一表达式进行解析延拓，是因为这一表达式只适用于复平面上 s 的实部 
的区域（否则级数不收敛）。黎曼找到了这一表达式的解析延拓（当然黎曼没有使用“解析延拓”这样的现代复变函数论术语）。运用路径积分，解析延拓后的黎曼ζ 函数可以表示为：
这里我们采用的是历史文献中的记号，式中的积分实际是一个环绕正实轴进行的围道积分（即从 出发，沿实轴上方积分至原点附近，环绕原点积分至实轴下方，再沿实轴下方积分至 ，而且离实轴的距离及环绕原点的半径均趋于 0)，按照现代数学记号应记成：
其中积分路径C跟上面所述相同，环绕正实轴，可以形象地这样表示：
式中的 Γ 函数 Γ(s) 是阶乘函数在复平面上的推广，对于正整数
。可以证明，这一积分表达式除了在
处有一个简单极点外在整个复平面上解析。这就是黎曼ζ 函数的完整定义。
运用上面的积分表达式可以证明，黎曼ζ 函数满足以下代数关系式：
从这个关系式中不难发现，黎曼ζ 函数在 (n 为正整数）取值为零 - 因为
为零。复平面上的这种使黎曼ζ 函数取值为零的点被称为黎曼ζ 函数的零点。因此 （n 为正整数）是黎曼ζ 函数的零点。这些零点分布有序、性质简单，被称为黎曼ζ 函数的平凡零点 (trivial zero)。除了这些平凡零点外，黎曼ζ 函数还有许多其它零点，它们的性质远比那些平凡零点来得复杂，被称为非平凡零点 (non-trivial zeros)。
黎曼ζ 函数的所有非平凡零点都位于复平面上 的直线上，也即方程的解的实部都是。
在黎曼猜想的研究中，数学家们把复平面上 的直线称为 critical line（临界线）。运用这一术语，黎曼猜想也可以表述为：黎曼ζ 函数的所有非平凡零点都位于 critical line 上。
黎曼猜想
等价定理
1901年Helge von Koch指出，黎曼猜想与强条件的素数定理等价。
验证进展
荷兰三位数学家J．van de Lune，H．J．Riele te以及D．T．Winter利用电子计算机来检验黎曼的假设，他们对最初的2亿个zeta函数的零点检验。
1982年11月苏联数学家马帝叶雪维奇在苏联杂志《Kibernetika》宣布。
1975年美国麻省理工学院的莱文森在他患癌症去世前证明了。
1980年中国数学家楼世拓、姚琦对莱文森的工作有一点改进，他们证明了。
1932年C.L.Siegel发表的文章中，有下面这样一个公式：文章 的作者根据这个公式的几何意义以及cos函数的零点性质，直接推导出来，即证明了区域内的零点全部落在临界线上。
黎曼用复分析的几何思想严格地证明了现代所说的“黎曼猜想”。这也许是数学史上最大的冤案。
然而，克莱数学研究所既不证实也不否认伊诺克博士正式解决了这一问题，只是简单表示对这些千年数学难题的解决办法不予评论。
黎曼猜想至今尚未被成功证明。
参考资料
[1]
偶社网：黎曼猜想生平简介[引用日期2010-01-11]
