模形式论（自守形式理论的特例）
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更新时间：2023-05-22
基本信息
| 中文名 | 模形式论 |
| 外文名 | modular form |
| 应用学科 | 数学 |
| 性质 | 自守形式理论 |
| 属性 | 公式 |
| 学科 | 数理科学 |
| 领域 | 数论 |
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基本介绍
模形式论是更广泛的自守形式理论的特例。自守形式理论的发展大致可分成三期：
3.1925至1960年：由赫克发端，发现了模形式与数论的联系。
作为格的函数
2) 存在常数
（通常取正整数），使得对任何
，有
。常数k称为此模形式之 权。
3) 对于最小非零元与原点距离大于一定值之格
，
有上界。
这个状况可以与射影空间 
作类比：对于射影空间，我们欲寻找向量空间 
上对座标的多项式函数
，并满足
；不幸的是，这种函数必为常数。一种办法是容许有分母（即考虑有理函数），则满足条件的是分子、分母为同次数齐次多项式的有理函数。另一种办法则是修改条件 为
，则满足此条件的函数为 次齐次多项式，对每个固定的，这些函数构成有限维向量空间。借着考虑所有可能的，我们可以找出构造 上的有理函数所需之分子与分母。
既然 次齐次多项式在 上并非真正的函数，该如何从几何上诠释？代数几何给出了一个答案：它们是 上某个层 
的截面。模形式的情形也类似，但考虑的不是，而是某个模空间。
作为椭圆曲线模空间上的函数
每个格 
都决定一条复椭圆曲线
；两个格给出的椭圆曲线同构的充要条件是两个格之间差一个非零复数的倍数。因此模函数可以看作是复椭圆曲线的模空间上的函数。例如椭圆曲线的j-不变量就是模函数。模形式可视作模空间上某些线丛的截面。
每个格在乘上某个非零复数倍数后皆可表成
。对一模形式，置
。模形式的第二个条件可改写成函数方程：对所有 
且
（即模群
之定义），有
广义定义
令 
为正整数，相应的模群 
定义为：
若对每个尖点都有
，则称之为尖点形式。使得 
的最小
称作 
在该尖点的阶。以上定义的模形式有时也称为整模形式，以区分带极点的一般情形（如j-不变量）。
另一种的推广是考虑某类函数
，并将函 数方程改写为
