柯西不等式（求解不等式的重要工具）

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更新时间：2023-05-31
柯西不等式
求解不等式的重要工具
柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。但从历史的角度讲，该不等式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz不等式【柯西-布尼亚科夫斯基-施瓦茨不等式】，因为，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。柯西不等式是由柯西在研究过程中发现的一个不等式，其在解决不等式证明的有关问题中有着十分广泛的应用，所以在高中数学提升中非常重要，是高中数学研究内容之一。
基本信息
中文名
柯西不等式
外文名
Cauchy-Buniakowsky-SchwarzInequality
提出者
提出时间
18世纪
应用学科
数学
推广者
赫尔曼·阿曼杜斯·施瓦茨
收起
提出者简介
柯西（CauchyAugustin-Louis，1789－1857），法国数学家，1789年8月21日生于巴黎，他的父亲路易·弗朗索瓦·柯西是法国波旁王朝的官员，在法国动荡的政治漩涡中一直担任公职。由于家庭的原因，柯西本人属于拥护波旁王朝的正统派，是一位虔诚的天主教徒。
他在纯数学和应用数学的功底是相当深厚的，很多数学的定理、公式都以他的名字来称呼，如柯西不等式、柯西积分公式。在数学写作上，他被认为在数量上仅次于欧拉的人，他一生一共著作了789篇论文和几本书，以《分析教程》（1821年）和《关于定积分理论的报告》（1827年）最为著名。不过他并不是所有的创作都质量很高，因此他还曾被人批评“高产而轻率”，这点倒是与数学王子（高斯）相反。据说，法国科学院《会刊》创刊的时候，由于柯西的作品实在太多，以致于科学院要负担很大的印刷费用，超出科学院的预算，因此，科学院后来规定论文最长的只能够到四页。柯西较长的论文因而只得投稿到其它地方。
定义定理
二维形式
公式变形：
等号成立条件：当且仅当
（即
）时。
一般形式
等号成立条件：
，或
中有一为零。
上述不等式等同于概述图中的不等式。
一般形式推广
此推广形式又称卡尔松不等式，其表述是：在
矩阵中，各列元素之和的几何平均不小于各行元素的几何平均之和。二维形式是卡尔松不等式
时的特殊情况。
向量形式
推广：
三角形式
等号成立条件：
，且
（即
）。
概率论形式
积分形式
一般形式
设V是一线性空间，在V上定义了一个二元实函数，称为内积，记做
，它具有以下性质：
1、
2、
3、
4、
，当且仅当
时
并定义α的长度
，则柯西不等式表述为：
验证推导
二维形式的证明
等号在且仅在
即
时成立。
三角形式的证明
两边开平方得：
向量形式的证明
（只是对二维的说明）
积分形式的证明
构造一个二次函数，
所以该二次函数与x轴至多一个交点，
，
即
当且仅当
与
线性相关时等号成立。
一般形式的证明
剩余几种情形都是一般情形的特例，完全可以用一般情形的证明方法来证。
定理推广
复变函数中的柯西不等式
若函数
在区域D及其边界上解析，
内一点，以
为圆心做圆周
，只要
及其内部G均被D包含，则有：
其中M是
的最大值。
证明：有柯西积分公式可知
所以
应用例子
柯西不等式在求某些函数最值中和证明某些不等式时是经常使用的理论根据，技巧以拆常数，凑常值为主。
巧拆常数证不等式
例：设a、b、c为正数且互不相等，求证：
。
证明：将a+b+c移到不等式的左边，化成：
=
由于a、b、c为正数且互不相等，等号取不到。
附用基本不等式证设，则所证不等式等价于
。
因为
。所以上式显然成立。
求某些函数最值
例：求函数
的最大值。
函数的定义域为[5，9]，
，由柯西不等式变形
则
。
函数仅在
，即
时取到。