一次函数（高中解析几何的基石）
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更新时间：2023-05-22
一次函数
本词条是多义词，共2个义项
高中解析几何的基石
一次函数是函数中的一种，一般形如y=kx+b（k,b是常数，k≠0），其中x是自变量，y是因变量。特别地，当b=0时，y=kx（k为常数，k≠0），y叫做x的正比例函数（direct proportion function）。
一次函数及其图象是初中代数的重要内容，也是高中解析几何的基石，更是中考的重点考查内容。
函数由来
“函数”一词最初是由德国的数学家莱布尼茨在17世纪首先采用的，当时莱布尼茨用“函数”这一词来表示变量x的幂，即
，
，….接下来莱布尼茨又将“函数”这一词用来表示曲线上的横坐标、纵坐标、切线的长度、垂线的长度等等所有与曲线上的点有关的变量。就这样“函数”这词逐渐盛行。
在中国，古时候的人将“函”字与“含”字通用，都有着“包含”的意思，清代数学家、天文学家、翻译家和教育家，近代科学的先驱者李善兰给出的定义是：“凡式中含天，为天之函数。”中国的古代人还用“天、地、人、物”4个字来表示4个不同的未知数或变量，显然，在李善兰的这个定义中的含义就是“凡是公式中含有变量x，则该式子叫做x的函数。”这样，在中国“函数”是指公式里含有变量的意思。
一次函数
瑞士数学家雅克·柏努意给出了和莱布尼茨相同的函数定义.1718年，雅克·柏努意的弟弟约翰·柏努意给出了函数了如下的函数定义：由任一变数和常数的任意形式所构成的量叫做这一变数的函数。换句话说，由x和常量所构成的任一式子都可称之为关于x的函数。
1775年，欧拉把函数定义为：“如果某些变量：以某一种方式依赖于另一些变量。即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随着变化，我们把前面的变量称为后面变量的函数.”由此可以看到，由莱布尼兹到欧拉所引入的函数概念，都还是和解析表达式、曲线表达式等概念纠缠在一起。
首屈一指的法国数学家柯西引入了新的函数定义：“在某些变数间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其它变数的值也可随之而确定时，则将最初的变数称之为‘自变数’，其它各变数则称为‘函数’”.在柯西的定义中，首先出现了“自变量”一词。
1834年，俄国数学家罗巴契夫斯基进一步提出函数的定义：“x的函数是这样的一个数，它对于每一个x都有确定的值，并且随着x一起变化。函数值可以由解析式给出，也可以由一个条件给出，这个条件提供了一种寻求全部对应值的方法。函数的这种依赖关系可以存在，但仍然是未知的”.这个定义指出了对应关系。即条件的必要性，利用这个关系以求出每一个x的对应值。
上面函数概念的演变，我们可以知道，函数的定义必须抓住函数的本质属性，变量y称为x的函数，只须有一个法则存在，使得这个函数取值范围中的每一个值，有一个确定的y值和它对应就行了，不管这个法则是公式或图象或表格或其他形式。
由此，就有了我们课本上的函数的定义：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有惟一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。
表示方法
一次函数有三种表示方法，如下：
1、解析式法
一次函数
用含自变量x的式子表示函数的方法叫做解析式法。
2、列表法
把一系列x的值对应的函数值y列成一个表来表示的函数关系的方法叫做列表法。
3、图像法
用图象来表示函数关系的方法叫做图象法。
解析式
基本性质
图像性质
1. 作法与图形：通过如下3个步骤：
（1）列表：每确定自变量x的一个值，求出因变量y的一个值，并列表；
一般地，
的图象过
和
两点即可画出。
正比例函数
的图象是过坐标原点的一条直线，一般取
和
两点画出。
（3）连线：可以作出一次函数的图象——一条直线。因此，作一次函数的图象只需知道2点，并连成直线即可。（通常找函数图象与x轴和y轴的交点分别是与，
）
2. 性质：（1）在一次函数上的任意一点
，都满足等式：
。（2）一次函数与y轴交点的坐标总是
，与x轴总是交于正比例函数的图象都是过原点。
3. 函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系。
4. k，b与函数图象所在象限：
y=kx时（即b等于0，y与x成正比，此时的图象是一条经过原点的直线)
一次函数
当k>0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大；
当k<0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。
当 
这时此函数的图象经过一，二，三象限；
当 
这时此函数的图象经过一，三，四象限；
当 
这时此函数的图象经过一，二，四象限；
当
这时此函数的图象经过二，三，四象限。
当
时，直线必通过一、二象限；
当
时，直线必通过三、四象限。
特别地，当
时，直线通过原点
表示的是正比例函数的图象。
这时，当
时，直线只通过一、三象限，不会通过二、四象限。当k<0时，直线只通过二、四象限，不会通过一、三象限。
5. 特殊位置关系
6. 直线
的图象和性质与k、b的关系如下表所示：
结论：时，图象从左到右上升，y随x的增大而增大。
7. 将函数向上平移n格，函数解析式为
，将函数向下平移n格，函数解析式为
，将函数向左平移n格，函数解析式为
，将函数向右平移n格，函数解析式为
。
位置关系
当平面直角坐标系中两直线平行时，其函数解析式中k的值（即一次项系数）相等；
关于平面直角坐标系中两直线垂直时，其函数解析式中K值互为相反数的证明：
一次函数
如图，这2个函数互相垂直，但若直接证明，存在困难，不易理解，如果平移平面直角坐标系，使这2个函数的交点交于原点，就会更简单。就像这一样，可以设这2个函数的表达式分别为；
又有
，得
化简得：
即
所以两个K值的乘积为-1。
学习方法
知识要点
1.要理解函数的意义。
2.联系实际对函数图象的理解。
3.随图象理解数字的变化而变化。
误区提醒
1.对一次函数概念理解有误，漏掉一次项系数不为0这一限制条件；
2.对一次函数图象和性质存在思维误区；
3.忽略一次函数自变量取值范围；(有时x∈Z ,其图象表现为非连续性的点的集合）
一次函数
4.对于一次函数中，把自变量认为不能等于零。
函数应用
常用公式
1.求函数图象的k值：
，即
（α为直线与x轴正方向的夹角）
2.求与x轴平行线段的中点：
3.求与y轴平行线段的中点：
4.求任意线段的长度：
5.求两个一次函数式图像交点坐标：解两函数式
一次函数
两个一次函数
，
，令
，得
。将解得的
值代回，两式的任一式，得到
，则
即为 y与之交点坐标。
7.求任意2点的连线的一次函数解析式：
（若分母为0，则分子为0）
(x,y)的正负性为 +，+（正，正）时该点在第一象限
(x,y)的正负性为 -，+（负，正）时该点在第二象限
(x,y)的正负性为 - ，-（负，负）时该点在第三象限
(x,y)的正负性为 +，-（正，负）时该点在第四象限
8.若两条直线，互相平行，则
，
9.如两条直线，互相垂直，则
10.设原直线为
一次函数
口诀：左加右减相对于X，上加下减相对于b。
11.直线与x轴的交点：，与y轴的交点：
生活中的应用
1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。
。
2.如果水池抽水速度f一定，水池里水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。
。
3.当弹簧原长度b（未挂重物时的长度）一定时，弹簧挂重物后的长度y是重物重量x的一次函数，即（k为任意正数）。
常见题型
常见题型一次函数及其图象是初中代数的重要内容，也是高中解析几何的基石，更是中考的重点考查内容。
一. 定义型
例1. 已知函数
是一次函数，求其解析式。
解：由一次函数定义而知
一次函数
注意：利用定义求一次函数解析式时，要保证
。如本例中应保证
。
二. 点斜型
例2. 已知一次函数
的图象过点(2, -1)，求这个函数的解析式。
解：一次函数 的图象过点(2, -1)， ，即
。故这个一次函数的解析式为
。
变式问法：已知一次函数 ，当
时，
时，求这个函数的解析式。
三. 两点型
例3.已知某个一次函数的图象与x轴、y轴的交点坐标分别是(-2, 0)、(0, 4)，则这个函数的解析式为_____。
解：设一次函数解析式为
由题意得
故这个一次函数的解析式为
。
四. 图像型
例4. 已知某个一次函数的图象如图所示，则该函数的解析式为__________。
解：设一次函数解析式为由图可知一次函数 的图象过点(1, 0)、(0, 2) 有 
所以
故这个一次函数的解析式为
五. 斜截型
例5. 已知直线与直线
平行，且在y轴上的截距为2，则直线的解析式为___________。
解析：两条直线； 。当 ，
时，
∴直线与直线平行 。又 直线在y轴上的截距为2，故直线的解析式为
或
。
六. 平移型
例6. 把直线
向下平移2个单位得到的图象解析式为___________。
解析：设函数解析式为 ，直线向下平移2个单位得到的直线与直线平行
直线在y轴上的截距为
，故图象解析式为。
七. 实际应用型
例7. 某油箱中存油20升，油从管道中匀速流出，流速为0.2升/分钟，则油箱中剩油量Q（升）与流出时间t（分钟）的函数关系式为___________。
解：由题意得
，即
一次函数
注意：求实际应用型问题的函数关系式要写出自变量的取值范围，别忘了考虑变量存在等于0的情况。
八. 面积型
解：易求得直线与x轴交为止为止，所以
故直线解析式为
或
。
九. 对称型
若直线 与直线关于
（1）x轴对称，则直线 的解析式为
；
（2）y轴对称，则直线 的解析式为
；
（3）直线
对称，则直线 的解析式为；
（4）直线
对称，则直线 的解析式为；
例9. 若直线l与直线
关于y轴对称，则直线l的解析式为____________。
解：由（2）得直线l的解析式为
。
十. 开放型
例10. 已知函数的图象过点A(1, 4)，B(2, 2)两点，请写出满足上述条件的两个不同的函数解析式，并简要说明解答过程。
解：
（2）由于A、B两点的横、纵坐标的积都等于4，所以经过A、B两点的函数图象还可以是双曲线
，解析式为。
（3）其它（略）
十一. 几何型
例11. 如图，在平面直角坐标系中，A、B是x轴上的两点，以AO、BO为直径的半圆分别交AC、BC于E、F两点，若C点的坐标为(0, 3)。（1）求图象过A、B、C三点的二次函数的解析式，并求其对称轴；（2）求图象过点E、F的一次函数的解析式。
（2）连接OE、OF，过E、F分别作x、y轴的垂线，垂足为M、N、P、G，易求得E 、F ，由待定系数法可求得一次函数解析式为。
十二. 方程型
例12. 若方程
的两根分别为，求经过点P 和Q 的一次函数图象的解析式
点P(11, 3)、Q(-11, 11)
设过点P、Q的一次函数的解析式为
则有
解得
故这个一次函数的解析式为。
其它相关
函数和方程
1. 从形式上看：一次函数，一元一次方程
。
2. 从内容上看：一次函数表示的是一对(x, y)之间的关系，它有无数对值；一元一次方程表示的是未知数x的值，最多只有1个值。
3. 相互关系：一次函数与x轴交点的横坐标就是相应的一元一次方程的根。例如：
与x轴的交点是(-2, 0)、则一元一次方程
的根是
。
函数和不等式
解不等式的方法：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；
从函数图象的角度看，就是确定直线在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合。
对应一次函数，它与x轴交点为。
当时，不等式
的解为：
，不等式
的解为：
；
当
的解为：不等式的解为：，不等式的解为：。
1. 以二元一次方程组
的解为坐标的点组成的图象与一次函数
的图象相同。
2. 二元一次方程组
,
的解可以看作是两个一次函数
和
的图象的交点。
方法小结
把方程组中的两个二元一次方程改写成一次函数的形式，然后作出它们的图象，找出两图像的交点，即可知方程组的解。
区别
二元一次方程有两个未知数，而一次函数只是说未知数的次数为一次，并未限定几个变量，因此二元一次方程只是一次函数中的一种。
1. 面直角坐标系中分别描绘出以二元一次方程的解为坐标的点，这些点都在相应的一次函数的图象上。如方程
有无数组值，像
以这些解为坐标的点(1, 3)，(2, 1)…都在一次函数
的图象上。
2. 一次函数图象上任取一点，它的坐标都适合相应的二元一次方程。如在一次函数
的图象上任取一点(3, -1)，则
一定是二元一次方程
的一组解。
参考资料
[1]
学习元·函数小史2014-09-23T00:00:00+08:00[引用日期2022-05-19 12:23:21]
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