狄利克雷L函数（狄利克雷L函数）
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更新时间：2023-05-22
狄利克雷L函数
狄利克雷L函数，又称对应于模q的特征Ⅹ(n)的狄利克雷L函数。
基本信息
| 中文名 | 狄利克雷L函数 |
| 应用 | 数学 |
| 意义 | 狄利克雷级数 |
| 性质 | 复变量函数 |
狄利克雷L函数
正文
又称对应于模q的特征Ⅹ(n)的狄利克雷L函数, 即函数，其中
,Ⅹ(n)是模q的一个特征，复变数
。它在
时就是黎曼ζ函数。这类函数最初是由P.G.L.狄利克雷在研究算术级数中的素数分布问题时引进的。它的性质和作用，都与黎曼ζ函数类似，在许多数论问题中有重要应用。它的主要性质有：
① 当
时，
，式中
表示对全体素数求积。因而
。
③ 当Ⅹ是模q的非主特征时，一定存在惟一的一个模q*，使当时，有
④ 当Ⅹ是模q的原特征时,
可解析开拓为整函数，且满足函数方程
式中
τ(Ⅹ)为仅与Ⅹ有关的常数，且满足
的共轭特征，即
⑤ 对任意的模q的特征Ⅹ，有
。
⑥设Ⅹ是模q的原特征，那么
是L(s,Ⅹ)的一级零点，称为“无聊零点”；可能有的其他零点（称为“非无聊零点”）一定都位于带形区域
中;L(s,Ⅹ)确有无穷多个非无聊零点。
⑦ 设
，以
表在区域，
中的零点个数。因此，当Ⅹ 是模q的原特征和
时，有
⑧ 设,
，以
表 在区域
,中的零点个数。再设
，其中Σ表对模q的所有特征求和。因此，当时，有
。此结果已被改进和推广，通常称之为L函数的零点密度定理。
⑩ 存在绝对正常数X1，使得对任意固定的模q,在所有的函数
中，仅可能除去一个例外函数外，均在区域
内无零点。如果这样的例外函数 存在，那么塣一定是模q的实的非主特征，且 在上述区域内只有一个一级实零点戓。这一性质是狄利克雷L函数与黎曼ζ函数的一个主要差别。研究对应于实特征的L函数的实零点，是L函数论的最重要问题之一。
A. 佩奇于1935年证明了：存在绝对正常数
，使得对任意的实原特征Ⅹ modq，
，必有
。由此可推出，存在绝对正常数
，使得对任意的实特征 Ⅹ modq，，当时
，
。
C. L. 西格尔的结果虽然优于A. 佩奇的结果，但是常数
和
至今没有办法计算出来。
从性质⑩、?、?可推得有余项估计的算术级数中的素数定理（见素数分布）。类似于黎曼假设，有所谓广义黎曼假设，即猜测所有的狄利克雷L函数的非无聊零点都位于直线
上，通常简记作GRH。大量的数值计算以及理论上的探讨都支持这一假设，但它至今还没有被证明或否定。从GRH可推出一系列重要的数论结果，虽然都是一些假设性的结果（其中有的已被无条件地证明了），但是却指出了研究L函数零点的重要意义和方向。
参考书目
H.Davenport,Multiplicative Number Theory,2nd ed.,Springer-Verlag, Berlin, 1980.
配图
狄利克雷L函数
零点
若 χ 是原特征，χ( ? 1) = 1，则 L(s,χ) 在 Re(s)
