超越数(1844年刘维尔提出的数学概念)
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更新时间:2023-05-22
超越数
本词条是多义词,共3个义项
1844年刘维尔提出的数学概念
基本信息
中文名 | 超越数 |
外文名 | transcendental number |
应用学科 | 数学 |
提出时间 | 1844年 |
重要人物 | 刘维尔、厄米特、林德曼 |
定义 | 不是代数数的数 |
收起
概念
难题
证明
常见形式
实数中除代数数以外的数,亦即不满足任一个整系数代数方程(n为正整数,≠0)的数。理论上证明超越数的存在并不难,而且可知超越数是大量的。但要构造一个超越数或论证某个数是超越数就极为困难。现今只有少量的数如(π,e),等的超越性得到了证明,对其他一些有兴趣的数的超越性的研究是数学家十分关注的事。
数例
π
π,在我国叫又环率、圆率、圆周率等。
最先得出π≈3.14的是希腊的阿基米德(约公元前240年),最先给出π小数后面四位准确值的是希腊人托勒密(约公元前150年),最早算出π小数后七位准确值的是我国的祖冲之(约480年),1610年荷兰籍德数学家鲁道夫应用内接和外切正多边形计算π值,通过2边形计算π到35位小数,花费了毕生精力,1630年格林贝格利用斯涅耳的改进方法计算π值到39位小数,这是利用古典方法计算π值的最重要尝试。
以上都是古典方法计算π值。
达什首先计算出π的准确的200位数字。
值得提出的是,达什1824年生于汉堡,只活了短短的37年,便离开了人世,他是一个闪电般的计算者,是一位最了不起的人工计算者,他曾在54秒钟内便完成了两个8位数的乘法,在6分钟内完成了两个20位数的乘法,在40分钟内完成了两个40位数的乘法;他曾在52分钟内算出一个100位数的平方根。达什的这种非凡的计算才能在他制作7位对数表和从7000000到10000000之间的数的因子表便得到了最有价值的充分的运用。
1706年,英国的威廉·姆士首先使用π这个符号,用来表示圆周和直径的比值,但只是在欧拉于1737年采用了这方法以后,π才在这种情况下得到了普遍的应用。
1961年,美国的雷思奇和D·桑克斯用电子计算机得出π值的100000位数字。
e
1844年,法国数学家刘维尔最先推测e是超越数,一直到了1873年才由法国数学家埃尔米特证明e是超越数。
同π一样,e也会在意想不到的地方出现,例如:“将一个数分成若干等份,要使各等份乘积最大,怎么分?”要解决这个问题便要同e打交道。答案是:使等分的各份尽可能接近e值。如,把10分成10÷e≈3.7份,但3.7份不好分,所以分成4份,每份为10÷4=2.5,这时2.5^4=39.0625乘积最大,如分成3或5份,乘积都小于39。e就是这样神奇的出现了。
各种形式
π和e的无穷级数形式
有趣的是,π和e可以用无穷级数表示:
π=4(1/1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+……)=4∑((-1)ⁿ/(1+2n)),n∈N
e=1/(0!)+1/(1!)+1/(2!)+1/(3!)+1/(4!)+1/(5!)+…….=∑1/(n!),n∈N
π的反正切函数形式
除了无穷级数形式,π还可以用反正切函数表示:
π=24arctan1/8+8arctan1/57+4arctan1/239
参考资料
[1]
代数数与超越数浅谈 · 维普[引用日期2021-07-26]