超越数论(超越数论)-尚可名片

超越数论（超越数论）

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更新时间：2023-05-22

超越数论

超越数论是以超越数为研究对象的数论分支之一。

基本信息

外文名	Beyond number theory
分类	代数数超越数
学科	数论
证明者	法国数学家刘维尔
研究方向	数的超越性

正文

以超越数为研究对象的数论分支之一。全体复数可分为两大类：代数数和超越数。如一个复数是某个系数不全为零的整系数多项式的根，则称此复数为代数数。不是代数数的复数，叫做超越数。J.刘维尔开创了对超越数的研究，他发现无理代数数的有理数逼近的精密性有一个限度，借此他于1844年构造出历史上第一批超越数，例如

超越数论

对g=2,3,…都是超越数。早在1844年以前的一个世纪里，对无理数的研究已成为一个注意焦点。1744年,L.欧拉证明了自然对数的底e是无理数。1761年，J.H.朗伯证明了圆周率π是无理数。

1873年，C.埃尔米特证明了e是超越数，从而使超越数论进入一个新阶段。1882年,F.von林德曼推广了埃尔米特的方法，证明了π 是超越数，从而解决了古希腊的“化圆为方”问题。

19世纪超越数论的最高成就，是林德曼-外尔施特拉斯定理：如果α1,α2,…,αn是两两不同的代数数，β1,β2，…,βn是非零代数数，则

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(1)

由此可以导出，如果α1，α2,…,αn在无理数域Q上线性无关，则

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代数无关（即它们不适合任一其系数为有理数的多项式方程）。由(1)可知，如α是非零代数数，则sinα，cosα，tanα都是超越数；如α是不等于0和1的代数数，则自然对数lnα是超越数。

1900年,D.希尔伯特提出的23个问题中的第7问题是：如果α是不等于0和1的代数数，β是无理代数数，那么αβ是否超越数？D.希尔伯特曾预言，这个问题的解决将迟于黎曼猜想和费马大定理。A.O.盖尔丰德于1929年证明了：若α是不等于零和1的代数数,β是二次复代数数，则αβ是超越数，特别地,

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是超越数。P.O.库兹明于1930年把这个结果推广到β是二次实代数数的情形，特别地,

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是超越数。1934年,A.O.盖尔丰德和T.施奈德独立地对希尔伯特第7问题作出了肯定回答，此即所谓盖尔丰德-施奈德定理。由此可知，若α是正有理数，则常用对数lgα不是有理数，便是超越数；更一般地，对非零代数数α1,α2,β1,β2,若lnα1,lnα2在Q上线性无关，则

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1966年A.贝克把这个结果推广到任意多个对数的情形，证明了下述重要结果：若α1,α2,…,αn是非零代数数，且lnα1,…,lnαn在Q上线性无关，则1,lnα1,…,lnαn在所有代数数所成的域坴上线性无关。其推论有:①若代数数的对数线性组合（其系数为代数数）不等于零，则必为超越数。②若α1,α2,…,αn,β0,β1,…,βn是非零代数数，则