均值不等式（数学中的一个重要公式）

VLoG
VLoG
103次浏览
更新时间：2023-07-10

小编整理：

均值不等式是数学中的一个重要公式，用来比较调和平均数、几何平均数和算术平均数之间的关系的。具体内容为Hn≤Gn≤An≤Qn，即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数。这个公式在求最值、函数不等式、解不等式等方面都有广泛应用。
均值不等式
本词条是多义词，共2个义项
数学中的一个重要公式
均值不等式（Inequality of arithmetic and geometric means），又名平均值不等式、平均不等式，是数学中的一个重要公式。公式内容为Hn≤Gn≤An≤Qn，即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数。均值不等式也可以看成是“对于若干个非负实数，它们的算术平均不小于几何平均”的推论。
基本信息
中文名
均值不等式
外文名
Inequality of arithmetic and geometric means
表达式
Hn≤Gn≤An≤Qn
应用学科
数学
适用领域
不等式
别名
平均值不等式、平均不等式
收起
定义介绍
被称为均值不等式。即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数，简记为“调几算方”。均值不等式也可以看成是“对于若干个非负实数，它们的算术平均不小于几何平均”的推论。
其中：
，被称为调和平均数。
，被称为几何平均数。
，被称为算术平均数。
，被称为平方平均数。
证明方法
关于均值不等式的证明方法有很多，数学归纳法（第一数学归纳法或反向归纳法）、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等，都可以证明均值不等式，在这里简要介绍数学归纳法的证明方法：
（注：在此证明的，是对n维形式的均值不等式的证明方法。）
用数学归纳法证明，需要一个辅助结论。
引理：设
。
则：
且仅当
时取等号。
注：引理的正确性较明显，条件
可以弱化为
，有兴趣的同学可以想想如何证明（用数学归纳法）（或用二项展开公式更为简便）。
原题等价于：
当且仅当
时取等号。
当
时易证；
假设当
时命题成立，即
, 当且仅当
时取等号。那么当
时，不妨设
是
中最大者，则
设
,
根据引理
当且仅当
且
时，即
时取等号。
利用琴生不等式法也可以很简单地证明均值不等式，同时还有柯西归纳法等等方法。
等式推广
一般形式
设函数
。
是
上的连续单调递增函数。
时，
。
这个结论被称作幂平均不等式。
可以注意到，
仅是上述不等式的特殊情形。
特殊情况
⑴对实数a,b，有
（当且仅当a=b时取“=”号），
（当且仅当
时取“=”号）
⑵对非负实数a,b，有
，即
⑶对非负实数a,b，有
⑷对非负实数a,b，
,有
⑸对非负实数a,b，有
⑹对实数a,b，有
⑺对实数a,b,c，有
⑻对非负数a,b，有
⑼对非负数a,b,c，有
在几个特例中，最著名的当属 算术—几何均值不等式（AM-GM不等式）：
当
时，上式即：
当且仅当
时，等号成立。
根据均值不等式的简化，有一个简单结论，即
。
参考资料
[1]
【每日一练】2022考研管综初数暑期备考：均值不等式 · 中公考研[引用日期2022-11-25]