L-函数（复值函数）

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更新时间：2023-05-22
L-函数
复值函数
L-函数是有算术有意义和算术背景的L-函数。例如黎曼在研究高斯和勒让德提出的素数定理时，引出了和素数分布有关的复变量的黎曼zeta-函数。
基本信息
中文名
L-函数
外文名
L-functions
用途
Dirichlet级数
编辑
黎曼猜想
定义
一般地，对于数学对象
，我们可定义复数列
，形如
且具有Euler乘积的Dirichlet级数，我们称其为关于
的
函数。
来源
一般地说，
-函数来源由两类组成：算术L-函数和自守L-函数。这两者又是密切联系在一起的，根据罗伯特·朗兰兹的猜想，笼统地说，一切有意义的L-函数都来自自守L-函数。
算术L-函数
简单地说，
同样地，狄利克雷在研究算术级数中的素数分布时，引入了Dirichlet L-函数：
Dedekind zeta-函数：设
为一代数数域，
椭圆曲线的Haass-Weil L-函数：设
为一非奇异的椭圆曲线定义
为曲线在有限域
上的解，设
，则下面的级数称为关于曲线的Haass-Weil L-函数
阿廷L-函数：设
是一个有限维的伽罗瓦表示，其中
为一代数数域，
自守L-函数
全纯模形式的L-函数，Maass L-函数，标准L-函数等等。
研究内容
根据罗伯特·朗兰兹在国际数学家大会上的报告所指，研究一个L-函数主要有三部分内容：
解析延拓
L-函数的解析延拓和函数方程这是最基本的一部分。对于一般的自守L-函数这是较容易得到的，但是对算术的L-函数这一部分并不是容易得到的。例如，对于Haass-Weil L-函数，这部分就是谷山-志村猜想，该猜想一部分就能推出费尔马大定理。关于阿廷L-函数的全纯解析沿拓的阿廷猜想也是数论中重要的未知问题。
对于数学对象
的L-函数，我们定义其的gamma因子为
其中
为复参数。
定义下面关于
的完全
-函数
那么，一般地我们有函数方程
其中
为模为1的复数，为
关于
的对偶对象。
零点的分布
非零区域：如黎曼zeta函数的目前最好的非零区域为
在假设黎曼猜想下，零点虚部的分布问题与随机矩阵的联系等等。
特殊点的值
中心值，临界点，整点的值，极点的留数等。这里面也有很多猜想，像BSD猜想，类数问题，Deligne 猜想，Beilinson 猜想，Goldfeld猜想。其实往往我们重要的不仅是关心它具体有多大，而是关心的这个量里面隐含着什么样的算术意义。像Dedekind zeta 函数在
处的留数，里面包含了一个数域的很多不变量：类数，判别式，regular等；BSD猜想就是Haass-Weil L-函数在中心点的的阶就是该椭圆曲线的秩！
研究意义
对于一个研究对象
如素数，伽罗瓦扩张，椭圆曲线，代数簇等等，我们可根据其性质构造出一个复变量的L-函数
。 -函数的解析性质：零点和极点，函数方程，展开系数，特殊点的值等等，往往能够充分反映
的算术，几何，或代数性质。
三个公开问题
关于L-函数的研究，有许多未解决的公开问题，在这些问题中，尤以下面三个著名。
广义Riemann猜想
L-函数所有非平凡的零点均位于线上。
广义Lindelof猜想
在(3.1)的函数方程中，有猜想：
其中
为任意小的正实数。
广义Ramanujan猜想
在(3.1)的函数方程中，猜想对非分歧的有
和
。
参考资料
[1]
关于L-函数的四次均值公式-《科学通报》1989年09期 · 中国知网[引用日期2021-11-01]